자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 벨만-포드 알고리즘의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V + E)
2.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 배낭 문제 변형에서 탐욕적 규칙 "무게당 가치 순으로 물건 담기"가 항상 최적의 답을 줍니까?

  1. A어느 변형도 아님
  2. B물건을 통째로만 담아야 하는 0/1 배낭 문제
  3. C물건을 나눌 수 있는 분할 가능 배낭 문제
  4. D두 변형 모두
3.자료구조보통

어떤 애플리케이션은 빠른 조회가 필요하고, 키를 정렬된 순서로 나열하고 범위 질의에도 답해야 합니다. 가장 적합한 구조는 무엇입니까?

  1. A정렬되지 않은 연결 리스트
  2. B스택
  3. C균형 이진 탐색 트리
  4. D해시 테이블
4.자료구조어려움

랭크에 의한 합집합(union by rank)이나 경로 압축 없이, 원소가 n개인 union-find 구조에서 find 한 번의 최악의 경우 비용은 얼마입니까?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(α(n))
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 2개, 차수가 4인 정점 3개, 차수가 5인 정점 3개, 차수가 2인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

2 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
ABCDE

D에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 3의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(V × E)

이것이 답인 이유

V − 1번의 각 라운드에서 E개의 간선을 모두 완화하므로 O(VE)이며, 그 대가로 음의 간선 가중치를 처리합니다.

답

B · O(V × E)
2.알고리즘과 복잡도

답: C · 물건을 나눌 수 있는 분할 가능 배낭 문제

이것이 답인 이유

물건을 나눌 수 있으면 비율이 가장 좋은 것부터 담는 것이 최적입니다. 0/1 배낭 문제에서는 비율이 높은 물건이 더 나은 조합을 막을 수 있어 동적 계획법이 필요합니다.

답

C · 물건을 나눌 수 있는 분할 가능 배낭 문제
3.자료구조

답: C · 균형 이진 탐색 트리

이것이 답인 이유

균형 BST는 O(log n) 조회를 제공하고 키를 순서대로 유지하므로 중위 순회와 범위 질의가 쉽습니다. 해시 테이블은 키를 흩어 놓습니다.

답

C · 균형 이진 탐색 트리
4.자료구조

답: C · O(n)

이것이 답인 이유

단순한 합집합은 트리를 긴 사슬로 연결할 수 있으므로 find가 부모 포인터 n − 1개를 따라가야 할 수 있습니다. 두 휴리스틱을 쓰면 거의 상수에 가까워집니다.

답

C · O(n)
5.그래프 이론

답: L = 19

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 37 = 2(L + 10) − 2
L = 19

답

L = 19

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

한 걸음 더

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

답

N = 2

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