자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

탐욕 알고리즘(greedy algorithm)은 무엇을 합니까?

  1. A각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다
  2. B재귀만 사용합니다
  3. C가능한 모든 해를 시도합니다
  4. D항상 최적해를 제공합니다
2.알고리즘과 복잡도어려움

정렬된 배열에서 비교 기반 탐색은 왜 최악의 경우 Ω(log n)번의 비교가 필요합니까?

  1. A이진 탐색이 유일하게 가능한 알고리즘이며 log₂ n번의 비교가 필요하기 때문에
  2. B비교 하나하나가 로그 시간이 걸리기 때문에
  3. C가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에
  4. D모든 원소를 최소 한 번은 비교해야 하기 때문에
3.자료구조보통

어떤 애플리케이션은 빠른 조회가 필요하고, 키를 정렬된 순서로 나열하고 범위 질의에도 답해야 합니다. 가장 적합한 구조는 무엇입니까?

  1. A해시 테이블
  2. B스택
  3. C균형 이진 탐색 트리
  4. D정렬되지 않은 연결 리스트
4.자료구조어려움

배열의 각 원소에 대해 그 오른쪽에서 다음으로 큰 원소를 전체 O(n) 시간에 구하려고 합니다. 도움이 되는 구조는 무엇입니까?

  1. A모든 원소 쌍을 담는 큐
  2. B원소마다 다시 만드는 이진 탐색 트리
  3. C답을 기다리는 원소들을 유지하는 스택
  4. D모든 원소의 해시 테이블
5.그래프 이론보통

완전그래프 K5의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K5
H =
6.그래프 이론어려움
129144112181510ABCDEFG

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 7|E| = 9
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다

이것이 답인 이유

탐욕 알고리즘은 빠르며 일부 문제(예: Dijkstra, Huffman 코딩)에서는 최적이지만 일반적으로는 그렇지 않습니다(예: 특정 동전 체계에서의 거스름돈 문제).

답

A · 각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다
2.알고리즘과 복잡도

답: C · 가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에

이것이 답인 이유

각 비교는 남은 가능성의 집합을 많아야 절반으로 줄이므로, n개의 위치를 구별하려면 최소 log₂ n번의 비교가 필요합니다.

답

C · 가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에
3.자료구조

답: C · 균형 이진 탐색 트리

이것이 답인 이유

균형 BST는 O(log n) 조회를 제공하고 키를 순서대로 유지하므로 중위 순회와 범위 질의가 쉽습니다. 해시 테이블은 키를 흩어 놓습니다.

답

C · 균형 이진 탐색 트리
4.자료구조

답: C · 답을 기다리는 원소들을 유지하는 스택

이것이 답인 이유

왼쪽에서 오른쪽으로 훑으며 현재 원소보다 작은 스택의 원소를 모두 pop하고(현재 원소가 그들의 답입니다), 현재 원소를 push합니다. 각 원소는 최대 두 번 이동합니다.

답

C · 답을 기다리는 원소들을 유지하는 스택
5.그래프 이론

답: H = 12

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

답

H = 12
6.그래프 이론

답: W = 51

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

EF (2): 선택
DE (4): 선택
AC (9): 선택
GE (10): 선택
DF (11): 건너뜀, 사이클이 생김
AB (12): 선택
CE (14): 선택

총 가중치

W = 2 + 4 + 9 + 10 + 12 + 14 = 51

답

W = 51

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