자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

  1. A최소 신장 트리
  2. B음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
  3. C모든 그래프에서의 위상 순서
  4. D시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도어려움

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 이진 힙을 사용한 다익스트라 알고리즘의 실행 시간은 얼마입니까?

  1. AO(V × E)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V³)
  4. DO(V + E)
3.자료구조보통

AVL 트리와 레드-블랙 트리가 보장하는 것은 무엇입니까?

  1. A모든 경우의 상수 시간 탐색
  2. B재균형을 통한 O(log n) 높이
  3. C자식이 두 개인 노드가 없음
  4. D키가 삽입 순서대로 저장됨
4.자료구조어려움

랭크 기반 합치기(union by rank)와 경로 압축(path compression)을 사용하는 union-find(서로소 집합) 구조의 연산당 분할 상환 비용은 얼마입니까?

  1. A정확히 O(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
5.그래프 이론보통
ABCDEF오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
11848132151211ABCDEFG

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 G까지의 최단 경로의 길이 d(G)을(를) 구하시오.

시작: A끝: G
d(G) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

이것이 답인 이유

BFS는 출발점으로부터의 거리(간선 수) 순서로 노드를 방문하므로 O(V + E)에 가중치 없는 최단 경로를 찾습니다.

답

D · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도

답: B · O((V + E) log V)

이것이 답인 이유

V번의 extract-min과 최대 E번의 decrease-key 연산이 있고 각각 O(log V)입니다. 피보나치 힙을 쓰면 O(E + V log V)로 개선됩니다.

답

B · O((V + E) log V)
3.자료구조

답: B · 재균형을 통한 O(log n) 높이

이것이 답인 이유

자가 균형 트리는 높이를 로그 수준으로 유지하므로 탐색, 삽입, 삭제가 최악의 경우에도 O(log n)입니다.

답

B · 재균형을 통한 O(log n) 높이
4.자료구조

답: D · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다

이것이 답인 이유

두 가지 최적화를 모두 적용하면 연산의 분할 상환 시간은 O(α(n))이며, 현실적인 모든 n에 대해 α(n) ≤ 4입니다.

답

D · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

홀수 정점

A, B, D, E → 4
둘 다 아님

답

둘 다 아님
6.그래프 이론

답: d(G) = 26

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): C: 11
C (11): E: 15, G: 26
E (15): D: 23
D (23): B: 31, F: 36
G (26): B: 28
B (28)
F (36)

최단 경로

A → C → G
d(G) = 26

답

d(G) = 26

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