자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

많은 라이브러리 정렬 루틴이 아주 작은 부분 배열에서 삽입 정렬로 전환하는 이유는 무엇입니까?

A큰 입력에서 삽입 정렬이 다른 어떤 정렬 알고리즘보다 메모리를 적게 쓰기 때문에
B삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에
C삽입 정렬은 최악의 경우 O(n log n)이기 때문에
D재귀 알고리즘은 원소가 10개 미만인 배열을 처리하지 못하기 때문에

2.알고리즘과 복잡도어려움

결정 불가능한 문제와 다루기 어려운 문제의 차이는 무엇입니까?

A다루기 어려운 문제는 어떤 알고리즘으로도 풀 수 없고, 결정 불가능한 문제는 지수 시간만 있으면 된다
B둘 다 그 문제에 알고리즘이 전혀 없다는 뜻이다
C결정 불가능한 문제는 NP에, 다루기 어려운 문제는 P에 속한다
D결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다

3.자료구조보통

균형 이진 탐색 트리에서 키를 탐색하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n)
BO(n log n)
CO(1)
DO(log n)

4.자료구조어려움

스플레이 트리는 접근할 때마다 무엇을 합니까?

A트리 전체를 균형 잡힌 형태로 다시 만든다
B탐색 경로의 노드 색을 바꾼다
C접근한 노드를 리프로 옮긴다
D접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다

5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 20개이고 간선이 27개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 20|E| = 27

k =

6.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에

이것이 답인 이유

n이 작으면 삽입 정렬의 단순한 루프가 O(n²)이더라도 퀵 정렬이나 병합 정렬의 재귀 오버헤드보다 빠릅니다.

답

B · 삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에

2.알고리즘과 복잡도

답: D · 결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다

이것이 답인 이유

정지 문제에는 알고리즘이 전혀 없습니다. TSP 같은 NP-hard 문제는 무차별 대입으로 풀 수 있지만, 알려진 다항 시간에는 풀 수 없습니다.

답

D · 결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다

3.자료구조

답: D · O(log n)

이것이 답인 이유

균형 트리의 높이는 약 log₂ n이므로, 탐색은 루트에서 리프까지 하나의 경로만 따라갑니다.

답

D · O(log n)

4.자료구조

답: D · 접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다

이것이 답인 이유

스플레이는 회전을 통해 접근한 노드를 루트로 옮깁니다. 연산 한 번은 O(n)이 들 수 있지만 분할 상환 비용은 O(log n)입니다.

답

D · 접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다

5.그래프 이론

답: k = 8

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

20 − 1 = 19

제거할 간선

k = 27 − 19 = 8

답

k = 8

6.그래프 이론

답: d(F) = 17

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 4

B (4): D: 11, G: 5

G (5): C: 7, E: 19

C (7): E: 9

E (9): F: 17

D (11)

F (17)

최단 경로

A → B → G → C → E → F

d(F) = 17

답

d(F) = 17

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