자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = 2T(n/2) + O(1)의 해는 무엇입니까?

AO(n²)
BO(n log n)
CO(n)
DO(log n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

단일 연결 리스트에서 이진 탐색이 O(log n) 시간을 주지 못하는 이유는 무엇입니까?

A연결 리스트 노드의 비교가 더 느리기 때문에
B연결 리스트는 정렬할 수 없기 때문에
C이진 탐색에는 최소 두 배의 메모리가 필요하기 때문에
D직접 인덱스 접근이 없으므로 가운데 원소에 도달하는 데 O(n) 단계가 걸리기 때문에

3.자료구조보통

연결 리스트에서 센티넬(더미) 노드의 목적은 무엇입니까?

A리스트가 정해진 최대 노드 수를 넘어 커지는 것을 막기 위해
Bhead나 tail의 특수한 경우를 없애 코드를 단순하게 하기 위해
C원소의 개수를 저장하기 위해
D리스트를 정렬된 상태로 만들기 위해

4.자료구조어려움

n개의 수로 된 배열에 대한 펜윅 트리(Fenwick tree, 이진 인덱스 트리)는 어떤 연산을 O(log n)에 지원합니까?

A접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
BO(1)에 중앙값 찾기
C배열 정렬과 이진 탐색
D임의 위치에 원소 삽입

5.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 7

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

6.그래프 이론어려움

F에서 B까지 가는 길이 3의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · O(n)

이것이 답인 이유

마스터 정리에 따라 n^{log₂ 2} = n이 상수 작업을 지배하므로, 절반으로 나누어 최댓값을 찾을 때처럼 T(n) = Θ(n)입니다.

답

C · O(n)

2.알고리즘과 복잡도

답: D · 직접 인덱스 접근이 없으므로 가운데 원소에 도달하는 데 O(n) 단계가 걸리기 때문에

이것이 답인 이유

이진 탐색은 가운데에 O(1)로 접근해야 합니다. 연결 리스트에서는 그곳까지 걸어가는 데 선형 시간이 들어 전체가 O(n)이 됩니다.

답

D · 직접 인덱스 접근이 없으므로 가운데 원소에 도달하는 데 O(n) 단계가 걸리기 때문에

3.자료구조

답: B · head나 tail의 특수한 경우를 없애 코드를 단순하게 하기 위해

이것이 답인 이유

센티넬이 있으면 모든 실제 노드에 이전 노드가 있으므로 head에서의 삽입이나 삭제에 특별한 처리가 필요 없습니다.

답

B · head나 tail의 특수한 경우를 없애 코드를 단순하게 하기 위해

4.자료구조

답: A · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신

이것이 답인 이유

펜윅 트리는 각 인덱스의 하위 비트로 결정되는 범위의 부분합을 저장하므로 접두사 합과 점 갱신 모두 O(log n)이 걸립니다.

답

A · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신

5.그래프 이론

답: 오일러 경로, 회로 없음

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1

홀수 정점

C, F → 2

오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

6.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 0 1 1 0

C: 1 0 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 1 1 1 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

한 걸음 더

(M³)_FB = 0·1 + 2·0 + 1·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 2

답

N = 2

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