자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

단순 재귀 피보나치(fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2))의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. A상수 시간
  2. B로그 시간
  3. C선형 시간
  4. D지수 시간
2.알고리즘과 복잡도어려움

누군가 NP-complete 문제 하나에 대한 다항 시간 알고리즘을 찾는다면 어떤 결과가 따릅니까?

  1. A그 문제 하나만 P로 옮겨진다
  2. B모든 지수 시간 알고리즘이 즉시 선형 시간에 실행된다
  3. CNP의 모든 문제를 다항 시간에 풀 수 있으므로 P = NP이다
  4. D정지 문제가 결정 가능해진다
3.자료구조보통

키 50, 30, 70, 20, 40을 이 순서로 빈 이진 탐색 트리에 삽입합니다. 30의 왼쪽 자식은 무엇입니까?

  1. A40
  2. B20
  3. C70
  4. D50
4.자료구조어려움

세그먼트 트리는 일반적으로 무엇에 사용됩니까?

  1. A구간 질의(구간 합 등)와 갱신을 O(log n)에 처리하는 데
  2. B스택을 구현하는 데
  3. C각 접두사를 별도의 트리 노드에 저장하여 문자열을 알파벳순으로 정렬하는 데
  4. D그래프의 간선을 저장하는 데
5.그래프 이론보통
ABCDEF오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
1121014321213ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 지수 시간

이것이 답인 이유

호출 트리는 대략 φⁿ(약 1.618ⁿ)처럼 증가합니다. 메모이제이션을 사용하면 O(n)으로 줄일 수 있습니다.

답

D · 지수 시간
2.알고리즘과 복잡도

답: C · NP의 모든 문제를 다항 시간에 풀 수 있으므로 P = NP이다

이것이 답인 이유

NP 전체가 어떤 NP-complete 문제로든 다항 시간에 환원되므로, 하나에 대한 빠른 알고리즘은 모두에 대한 빠른 알고리즘을 줍니다.

답

C · NP의 모든 문제를 다항 시간에 풀 수 있으므로 P = NP이다
3.자료구조

답: B · 20

이것이 답인 이유

20은 50보다 작고 30보다 작으므로 30의 왼쪽 자식이 됩니다. 40은 30의 오른쪽 자식이 됩니다.

답

B · 20
4.자료구조

답: A · 구간 질의(구간 합 등)와 갱신을 O(log n)에 처리하는 데

이것이 답인 이유

세그먼트 트리는 구간별 집계 값을 저장하여 구간 질의와 단일 지점 갱신을 O(log n) 시간에 지원합니다.

답

A · 구간 질의(구간 합 등)와 갱신을 O(log n)에 처리하는 데
5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

홀수 정점

A, D, E, F → 4
둘 다 아님

답

둘 다 아님
6.그래프 이론

답: d(F) = 19

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 11, C: 2
C (2): E: 5
E (5): D: 7
D (7): F: 19
B (11)
F (19)

최단 경로

A → C → E → D → F
d(F) = 19

답

d(F) = 19

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