자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

많은 라이브러리 정렬 루틴이 아주 작은 부분 배열에서 삽입 정렬로 전환하는 이유는 무엇입니까?

  1. A큰 입력에서 삽입 정렬이 다른 어떤 정렬 알고리즘보다 메모리를 적게 쓰기 때문에
  2. B삽입 정렬은 최악의 경우 O(n log n)이기 때문에
  3. C삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에
  4. D재귀 알고리즘은 원소가 10개 미만인 배열을 처리하지 못하기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

다음 충족 가능성 문제 중 다항 시간에 풀 수 있다고 알려진 것은 무엇입니까?

  1. A논리곱 표준형 식에 대한 일반 SAT
  2. B각 절에 리터럴이 정확히 세 개인 3-SAT
  3. C각 절에 리터럴이 최대 두 개인 2-SAT
  4. D회로 충족 가능성
3.자료구조보통

연결 리스트에서 센티넬(더미) 노드의 목적은 무엇입니까?

  1. A리스트가 정해진 최대 노드 수를 넘어 커지는 것을 막기 위해
  2. B원소의 개수를 저장하기 위해
  3. C리스트를 정렬된 상태로 만들기 위해
  4. Dhead나 tail의 특수한 경우를 없애 코드를 단순하게 하기 위해
4.자료구조어려움

AVL 트리에 키를 삽입했더니 어떤 노드의 왼쪽 서브트리가 너무 높아졌고, 새 키는 그 왼쪽 자식의 왼쪽 서브트리에 들어갔습니다(left-left 경우). 어떤 수정이 적용됩니까?

  1. A노드와 그 자식의 색 바꾸기
  2. B불균형 노드에서 단일 왼쪽 회전
  3. C불균형 노드에서 단일 오른쪽 회전
  4. D자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
5.그래프 이론보통

완전그래프 K6의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K6
H =
6.그래프 이론어려움
17121011157ABCDE

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 5|E| = 7
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에

이것이 답인 이유

n이 작으면 삽입 정렬의 단순한 루프가 O(n²)이더라도 퀵 정렬이나 병합 정렬의 재귀 오버헤드보다 빠릅니다.

답

C · 삽입 정렬은 오버헤드가 적고 작거나 거의 정렬된 입력에서 빠르기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: C · 각 절에 리터럴이 최대 두 개인 2-SAT

이것이 답인 이유

2-SAT는 P에 속하지만(강연결 요소를 통해 선형 시간), 3-SAT는 NP-complete입니다.

답

C · 각 절에 리터럴이 최대 두 개인 2-SAT
3.자료구조

답: D · head나 tail의 특수한 경우를 없애 코드를 단순하게 하기 위해

이것이 답인 이유

센티넬이 있으면 모든 실제 노드에 이전 노드가 있으므로 head에서의 삽입이나 삭제에 특별한 처리가 필요 없습니다.

답

D · head나 tail의 특수한 경우를 없애 코드를 단순하게 하기 위해
4.자료구조

답: C · 불균형 노드에서 단일 오른쪽 회전

이것이 답인 이유

Left-left 경우에는 오른쪽 회전 한 번이 왼쪽 자식을 위로 올려 균형을 회복합니다. 지그재그 경우에는 이중 회전이 필요합니다.

답

C · 불균형 노드에서 단일 오른쪽 회전
5.그래프 이론

답: H = 60

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

답

H = 60
6.그래프 이론

답: W = 28

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

BD (1): 선택
DE (5): 선택
BE (7): 건너뜀, 사이클이 생김
BC (10): 선택
CE (11): 건너뜀, 사이클이 생김
AC (12): 선택

총 가중치

W = 1 + 5 + 10 + 12 = 28

답

W = 28

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