자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

함수가 n번 반복하는 루프 하나를 실행한 뒤, 따로 n번 반복하는 또 다른 루프를 실행합니다. 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(log n)
BO(n²)
CO(2ⁿ)
DO(n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

정렬된 배열에서 비교 기반 탐색은 왜 최악의 경우 Ω(log n)번의 비교가 필요합니까?

A비교 하나하나가 로그 시간이 걸리기 때문에
B이진 탐색이 유일하게 가능한 알고리즘이며 log₂ n번의 비교가 필요하기 때문에
C가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에
D모든 원소를 최소 한 번은 비교해야 하기 때문에

3.자료구조보통

AVL 트리와 레드-블랙 트리가 보장하는 것은 무엇입니까?

A재균형을 통한 O(log n) 높이
B모든 경우의 상수 시간 탐색
C자식이 두 개인 노드가 없음
D키가 삽입 순서대로 저장됨

4.자료구조어려움

이진 탐색 트리에서 자식이 두 개인 노드를 삭제할 때는 보통 어떻게 합니까?

A그 아래 서브트리를 처음부터 다시 만들어 그 안에 있던 모든 키를 다시 삽입한다
B서브트리 전체를 삭제한다
C루트와 맞바꾼다
D중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다

5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 11개이고 간선이 20개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 11|E| = 20

k =

6.그래프 이론어려움

A에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n)

이것이 답인 이유

n + n = 2n이고 상수 계수는 버리므로 이 함수는 O(n)입니다.

답

D · O(n)

2.알고리즘과 복잡도

답: C · 가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에

이것이 답인 이유

각 비교는 남은 가능성의 집합을 많아야 절반으로 줄이므로, n개의 위치를 구별하려면 최소 log₂ n번의 비교가 필요합니다.

답

C · 가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에

3.자료구조

답: A · 재균형을 통한 O(log n) 높이

이것이 답인 이유

자가 균형 트리는 높이를 로그 수준으로 유지하므로 탐색, 삽입, 삭제가 최악의 경우에도 O(log n)입니다.

답

A · 재균형을 통한 O(log n) 높이

4.자료구조

답: D · 중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다

이것이 답인 이유

중위 후속자는 자식이 최대 하나뿐이므로, 그 키를 삭제할 노드에 복사한 뒤 쉽게 제거할 수 있습니다.

답

D · 중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다

5.그래프 이론

답: k = 10

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

11 − 1 = 10

제거할 간선

k = 20 − 10 = 10

답

k = 10

6.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 0 1 1 0

C: 1 0 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 0 1

E: 0 1 1 0 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

공통 이웃

(M²)_AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

답

N = 2

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