자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

원소 n개의 배열에 대한 병합 정렬의 재귀에는 몇 개의 단계가 있습니까?

  1. A약 n / 2
  2. B약 log₂ n
  3. C약 √n
  4. D약 n
2.알고리즘과 복잡도어려움

최단 단순 경로는 다항 시간에 찾을 수 있습니다. 일반 그래프에서 두 정점 사이의 최장 단순 경로를 찾는 것에 대해 알려진 것은 무엇입니까?

  1. A항상 O(V + E)에 풀 수 있다
  2. B가중치를 음수로 바꾼 다익스트라 알고리즘으로 풀 수 있다
  3. CNP-hard이다
  4. D결정 불가능하다
3.자료구조보통

원형 버퍼(링 버퍼)는 일반적으로 무엇을 구현하는 데 사용됩니까?

  1. A이진 탐색 트리
  2. B그래프 순회
  3. C고정 크기 큐
  4. D해시 함수
4.자료구조어려움

배열에서 크기 k인 모든 윈도우의 최댓값을 전체 O(n)에 계산할 수 있게 하는 구조는 무엇입니까?

  1. A값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱
  2. B이동으로 갱신하는 정렬된 배열
  3. C윈도우 원소들의 단일 연결 리스트
  4. D윈도우마다 다시 만드는 최소 힙
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 16개이고 간선이 24개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 16|E| = 24
k =
6.그래프 이론어려움
141810649122ABCDEF

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 6|E| = 8
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 약 log₂ n

이것이 답인 이유

n에서 1까지 절반씩 줄이면 약 log₂ n 단계가 걸리고 각 단계에서 O(n)의 병합 작업을 하므로 O(n log n)입니다.

답

B · 약 log₂ n
2.알고리즘과 복잡도

답: C · NP-hard이다

이것이 답인 이유

길이 V − 1인 최장 단순 경로는 NP-complete 문제인 해밀턴 경로입니다. 다만 방향 비순환 그래프에서는 선형 시간에 풀 수 있습니다.

답

C · NP-hard이다
3.자료구조

답: C · 고정 크기 큐

이것이 답인 이유

링 버퍼는 순환하는 head와 tail 인덱스를 사용하여 고정된 메모리에서 O(1) enqueue와 dequeue를 제공합니다.

답

C · 고정 크기 큐
4.자료구조

답: A · 값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱

이것이 답인 이유

덱의 앞은 항상 윈도우의 최댓값입니다. 각 인덱스는 덱에 한 번 들어오고 한 번 나가므로 작업량은 선형입니다.

답

A · 값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱
5.그래프 이론

답: k = 9

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

16 − 1 = 15

제거할 간선

k = 24 − 15 = 9

답

k = 9
6.그래프 이론

답: W = 35

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

BE (2): 선택
DE (4): 선택
CE (6): 선택
DF (9): 선택
BD (10): 건너뜀, 사이클이 생김
EF (12): 건너뜀, 사이클이 생김
AB (14): 선택

총 가중치

W = 2 + 4 + 6 + 9 + 14 = 35

답

W = 35

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