자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = T(n/2) + O(1)의 해는 무엇입니까?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

결정 불가능한 문제와 다루기 어려운 문제의 차이는 무엇입니까?

  1. A결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다
  2. B결정 불가능한 문제는 NP에, 다루기 어려운 문제는 P에 속한다
  3. C둘 다 그 문제에 알고리즘이 전혀 없다는 뜻이다
  4. D다루기 어려운 문제는 어떤 알고리즘으로도 풀 수 없고, 결정 불가능한 문제는 지수 시간만 있으면 된다
3.자료구조보통

인덱스 0부터 시작하는 배열에 저장된 이진 힙에서 인덱스 i인 노드의 부모는 어디에 있습니까?

  1. A인덱스 i − 1
  2. B인덱스 2i + 1
  3. C인덱스 ⌊i / 2⌋ + 1
  4. D인덱스 ⌊(i − 1) / 2⌋
4.자료구조어려움

이진 탐색 트리에서 자식이 두 개인 노드를 삭제할 때는 보통 어떻게 합니까?

  1. A루트와 맞바꾼다
  2. B서브트리 전체를 삭제한다
  3. C중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다
  4. D그 아래 서브트리를 처음부터 다시 만들어 그 안에 있던 모든 키를 다시 삽입한다
5.그래프 이론보통

완전그래프 K8의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K8
H =
6.그래프 이론어려움
1091412181716ABCDE

프림 알고리즘이 정점 C에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 2번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Ck = 2
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DE
  7. 7간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(log n)

이것이 답인 이유

각 단계마다 문제가 절반이 되고 단계당 작업이 상수이므로 약 log₂ n 단계가 있습니다.

답

D · O(log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다

이것이 답인 이유

정지 문제에는 알고리즘이 전혀 없습니다. TSP 같은 NP-hard 문제는 무차별 대입으로 풀 수 있지만, 알려진 다항 시간에는 풀 수 없습니다.

답

A · 결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다
3.자료구조

답: D · 인덱스 ⌊(i − 1) / 2⌋

이것이 답인 이유

i의 자식은 2i + 1과 2i + 2에 있으므로 i의 부모는 ⌊(i − 1) / 2⌋입니다. 1부터 시작하는 인덱스에서는 ⌊i / 2⌋입니다.

답

D · 인덱스 ⌊(i − 1) / 2⌋
4.자료구조

답: C · 중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다

이것이 답인 이유

중위 후속자는 자식이 최대 하나뿐이므로, 그 키를 삭제할 노드에 복사한 뒤 쉽게 제거할 수 있습니다.

답

C · 중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다
5.그래프 이론

답: H = 2520

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520
6.그래프 이론

답: 간선 AB

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. AC (9)
2. AB (10)
3. BD (12)
4. BE (16)

간선 번호 2

AB

답

간선 AB

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