자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

도달 가능한 기저 사례가 없는 재귀 함수에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. A컴파일러가 항상 안전하게 끝나는 루프로 바꾼다
  2. BO(1) 시간에 실행된다
  3. C호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다
  4. D자동으로 0을 반환한다
2.알고리즘과 복잡도어려움

클래스 NP의 올바른 정의는 무엇입니까?

  1. A다항이 아닌 문제
  2. B어떤 알고리즘으로도 풀 수 없는 문제
  3. C다항 시간에 풀 수 없는 문제
  4. D인증서가 주어지면 "예" 답을 다항 시간에 검증할 수 있는 결정 문제
3.자료구조보통

이진 최소 힙에서 extract-min은 어떻게 동작합니까?

  1. A배열의 마지막 원소를 제거한다
  2. B마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
  3. C모든 리프에서 새로운 최솟값을 찾는다
  4. D루트를 제거하고 모든 원소를 왼쪽으로 한 칸씩 이동시킨다
4.자료구조어려움

원형 버퍼에서 front == rear는 비어 있음 또는 가득 참을 뜻할 수 있습니다. 둘을 구별하는 일반적인 방법은 무엇입니까?

  1. Afront와 rear를 같은 변수에 저장한다
  2. Bfront가 rear와 같을 때마다 항상 버퍼를 비워 상태가 비어 있음이 되게 한다
  3. C버퍼 크기를 2의 거듭제곱으로 만든다
  4. D원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 4개, 차수가 5인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.그래프 이론어려움
9691063101ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다

이것이 답인 이유

기저 사례가 없으면 재귀는 결코 멈추지 않습니다. 실제로는 스택 프레임용 메모리가 바닥나 프로그램이 비정상 종료됩니다.

답

C · 호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 인증서가 주어지면 "예" 답을 다항 시간에 검증할 수 있는 결정 문제

이것이 답인 이유

NP 문제에서는 제안된 해(인증서)를 빠르게 확인할 수 있습니다. 예를 들어 주어진 할당이 불리언 식을 만족하는지 검증하는 것입니다.

답

D · 인증서가 주어지면 "예" 답을 다항 시간에 검증할 수 있는 결정 문제
3.자료구조

답: B · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다

이것이 답인 이유

마지막 원소가 루트의 빈자리를 채우고, 힙 성질이 성립할 때까지 더 작은 자식과 교환되며, O(log n)이 걸립니다.

답

B · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
4.자료구조

답: D · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다

이것이 답인 이유

개수를 쓰면 비어 있음은 count = 0, 가득 참은 count = capacity입니다. 칸 하나를 비워 두면 가득 참은 (rear + 1) mod n == front로 정의됩니다.

답

D · 원소 개수를 따로 유지하거나 항상 칸 하나를 비워 둔다
5.그래프 이론

답: L = 26

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 48 = 2(L + 12) − 2
L = 26

답

L = 26

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(F) = 25

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): C: 9
C (9): B: 15, E: 19
B (15): D: 24, E: 16
E (16): D: 22, F: 26
D (22): F: 25
F (25)

최단 경로

A → C → B → E → D → F
d(F) = 25

답

d(F) = 25

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