자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

프림 알고리즘은 최소 신장 트리를 어떻게 만듭니까?

  1. A너비 우선 탐색을 실행하고 BFS 트리를 유지한다
  2. B사이클이 없어질 때까지 가장 비싼 간선을 제거한다
  3. C시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다
  4. D간선을 가중치순으로 모두 정렬하여 숲에서 사이클을 만들지 않는 간선을 하나씩 추가한다
2.알고리즘과 복잡도어려움

쿡-레빈 정리는 무엇을 확립했습니까?

  1. A정지 문제는 결정 불가능하다
  2. BP는 NP와 같지 않다
  3. C모든 NP 문제는 지수 시간에 풀 수 있다
  4. D불리언 충족 가능성 문제(SAT)는 NP-complete이다
3.자료구조보통

이진 트리의 루트는 1이고 왼쪽 자식은 2, 오른쪽 자식은 3입니다. 노드 2의 자식은 4(왼쪽)와 5(오른쪽)입니다. 후위 순회 결과는 무엇입니까?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D5 4 3 2 1
4.자료구조어려움

세그먼트 트리는 일반적으로 무엇에 사용됩니까?

  1. A구간 질의(구간 합 등)와 갱신을 O(log n)에 처리하는 데
  2. B각 접두사를 별도의 트리 노드에 저장하여 문자열을 알파벳순으로 정렬하는 데
  3. C스택을 구현하는 데
  4. D그래프의 간선을 저장하는 데
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 2개, 차수가 5인 정점 3개, 차수가 2인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

2 × deg 33 × deg 54 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
261271410854ABCDEFG

프림 알고리즘이 정점 G에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 5번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Gk = 5
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 EF
  8. 8간선 GC
  9. 9간선 GD

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다

이것이 답인 이유

교차 간선의 우선순위 큐를 사용하는 프림 알고리즘은 이진 힙으로 O(E log V)에 실행됩니다.

답

C · 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 불리언 충족 가능성 문제(SAT)는 NP-complete이다

이것이 답인 이유

쿡과 레빈은 NP의 모든 문제가 다항 시간에 SAT로 환원됨을 독립적으로 보였으므로 SAT는 최초로 알려진 NP-complete 문제가 되었습니다.

답

D · 불리언 충족 가능성 문제(SAT)는 NP-complete이다
3.자료구조

답: B · 4 5 2 3 1

이것이 답인 이유

후위 순회는 2보다 먼저 4와 5를 처리하고, 그다음 3, 마지막으로 루트 1을 처리합니다.

답

B · 4 5 2 3 1
4.자료구조

답: A · 구간 질의(구간 합 등)와 갱신을 O(log n)에 처리하는 데

이것이 답인 이유

세그먼트 트리는 구간별 집계 값을 저장하여 구간 질의와 단일 지점 갱신을 O(log n) 시간에 지원합니다.

답

A · 구간 질의(구간 합 등)와 갱신을 O(log n)에 처리하는 데
5.그래프 이론

답: L = 13

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 29 = 2(L + 9) − 2
L = 13

답

L = 13

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: 간선 DF

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. GD (4)
2. GC (5)
3. AC (6)
4. AB (2)
5. DF (10)
6. EF (8)

간선 번호 5

DF

답

간선 DF

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