자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

정렬된 배열에서 양 끝에서 포인터를 하나씩 안쪽으로 움직이며 합이 목표값인 두 원소를 찾습니다. 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(log n)
BO(n)
CO(n²)
DO(n log n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

위상 정렬은 어떤 그래프에서만 가능합니까?

A음의 가중치를 가진 그래프
B무방향 그래프
C방향성 비순환 그래프(DAG)
D완전 그래프

3.자료구조보통

정점이 V개인 그래프의 인접 행렬은 얼마만큼의 메모리를 사용합니까?

AO(E)
BO(V + E)
CO(V²)
DO(log V)

4.자료구조어려움

원소가 n개인 이진 최소 힙에서 임의의 키를 탐색하는 데 얼마나 걸립니까?

AO(log log n)
BO(n)
CO(1)
DO(log n)

5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 12개이고 간선이 12개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 12|E| = 12

k =

6.그래프 이론어려움

E에서 D까지 가는 길이 3의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(n)

이것이 답인 이유

합이 너무 작으면 왼쪽 포인터가 오른쪽으로, 너무 크면 오른쪽 포인터가 왼쪽으로 움직이므로 단계는 최대 n번입니다.

답

B · O(n)

2.알고리즘과 복잡도

답: C · 방향성 비순환 그래프(DAG)

이것이 답인 이유

위상 순서는 방향 그래프에 사이클이 없을 때에만 존재하며, DFS나 Kahn 알고리즘으로 O(V + E)에 찾을 수 있습니다.

답

C · 방향성 비순환 그래프(DAG)

3.자료구조

답: C · O(V²)

이것이 답인 이유

인접 행렬은 V × V개의 항목을 저장하므로 밀집 그래프에 효율적이고, 인접 리스트는 O(V + E)를 사용하므로 희소 그래프에 더 적합합니다.

답

C · O(V²)

4.자료구조

답: B · O(n)

이것이 답인 이유

힙에는 어떤 서브트리에 키가 있는지에 대한 규칙이 없으므로 최악의 경우 모든 노드를 확인해야 합니다. 빠르게 찾을 수 있는 것은 최솟값뿐입니다.

답

B · O(n)

5.그래프 이론

답: k = 1

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

12 − 1 = 11

제거할 간선

k = 12 − 11 = 1

답

k = 1

6.그래프 이론

답: N = 5

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 0 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

한 걸음 더

(M³)_ED = 1·0 + 2·1 + 1·0 + 1·0 + 3·1 = 5

답

N = 5

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