자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

단순한 재귀 팩토리얼 함수 fact(n) = n × fact(n − 1)은 스택 공간을 얼마나 사용합니까?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

마스터 정리를 사용하면 T(n) = 8T(n/2) + O(n²)의 해는 무엇입니까?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.자료구조보통

용량이 n인 배열에 저장된 원형 큐에서 인덱스 i 다음 위치는 어떻게 계산합니까?

  1. A2i + 1
  2. B(i − 1) mod n
  3. C(i + 1) mod n
  4. Di + 1
4.자료구조어려움

랭크 기반 합치기(union by rank)와 경로 압축(path compression)을 사용하는 union-find(서로소 집합) 구조의 연산당 분할 상환 비용은 얼마입니까?

  1. AO(n²)
  2. B정확히 O(log n)
  3. CO(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
  4. DO(n)
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 11개이고 간선이 19개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 11|E| = 19
k =
6.그래프 이론어려움
209125108615161ABCDEFG

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 7|E| = 10
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n)

이것이 답인 이유

어떤 호출도 반환되기 전에 재귀가 n번 깊어지고 각 호출에 스택 프레임이 필요하므로 O(n) 공간을 사용합니다.

답

D · O(n)
2.알고리즘과 복잡도

답: D · Θ(n³)

이것이 답인 이유

log₂ 8 = 3이고 n²은 n³보다 느리게 증가하므로 리프가 지배합니다: Θ(n³).

답

D · Θ(n³)
3.자료구조

답: C · (i + 1) mod n

이것이 답인 이유

나머지 연산이 인덱스 n − 1을 다시 0으로 돌려 주므로, 원소를 이동시키지 않고 배열을 재사용할 수 있습니다.

답

C · (i + 1) mod n
4.자료구조

답: C · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다

이것이 답인 이유

두 가지 최적화를 모두 적용하면 연산의 분할 상환 시간은 O(α(n))이며, 현실적인 모든 n에 대해 α(n) ≤ 4입니다.

답

C · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
5.그래프 이론

답: k = 9

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

11 − 1 = 10

제거할 간선

k = 19 − 10 = 9

답

k = 9
6.그래프 이론

답: W = 41

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

GE (1): 선택
BD (5): 선택
EF (6): 선택
DF (8): 선택
AC (9): 선택
DE (10): 건너뜀, 사이클이 생김
BC (12): 선택

총 가중치

W = 1 + 5 + 6 + 8 + 9 + 12 = 41

답

W = 41

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