미분방정식: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

도함수

거듭제곱 미분법: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′
몫의 미분법: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
연쇄 법칙: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
주요 도함수: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

방법

구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.

수치해석

이분법: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
뉴턴–랩슨법: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
선형 보간: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
사다리꼴 공식의 오차 한계: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
오일러: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
호인법: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

방법

근은 이분법이면 부호 변화를 확인하고, 뉴턴법이면 f와 f′를 계산하며, 반복값의 표에는 여섯 자리 이상을 유지하세요.
표의 값은 이웃한 두 점 사이를 선형으로 보간하세요.
적분은 h = (b − a)/n을 구하고, 모든 절점에서 f를 나열하고, 가중치(사다리꼴은 1, 2, …, 2, 1이고 짝수 n의 심프슨은 1, 4, 2, …, 4, 1)를 적용한 다음 h/2 또는 h/3을 곱하세요.
미분방정식은 t₀에서 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)(오일러) 또는 평균 기울기(호인)로 단계마다 한 줄씩, 요구된 t에 도달할 때까지 진행하세요.

2연습 문제

1.미분방정식보통

y(0) = 5, y′(0) = -4일 때 y″ + 5y′ + 6y = 0을(를) 푸시오. y(1)을(를) 구하시오.

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 5y′(0) = -4

y(1) =

2.미분방정식어려움

시스템이 t ≥ 0에서 y″ + 3y′ + 6.25y = 12.5을 따르며 정지 상태에서 출발합니다: y(0) = 0, y′(0) = 0. 계단 응답의 최댓값 y_max을(를) 구하시오.

y″ + 3y′ + 6.25y = 12.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.적분보통

y = √(x) 아래의 영역을 x = 0에서 x = 1까지 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체(포물면체)의 부피 V을(를) 구하시오.

y = √(x)0 ≤ x ≤ 1

V =

4.적분어려움

y = 2x²과 y = x로 둘러싸인 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 2x²y = x

A =

5.도함수보통

f(x) = x·e^−0.5x이라 합시다. f′(0.5)를 구하세요.

f(x) = x·e^−0.5xx = 0.5

f′(0.5) =

6.도함수어려움

x = 3에서 f(x) = 3x² + 2x − 6의 접선은 y축과 y = b에서 만납니다. b를 구하세요.

f(x) = 3x² + 2x − 6x = 3

b =

7.수치해석보통

띠 n = 2개의 심프슨 공식으로 ∫₀² sin(x²) dx를 근사하시오. S을(를) 구하시오.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 2

S =

8.수치해석어려움

y′ = −2ty, y(0) = 1에 대해 h = 0.25으로 오일러법을 써서 y₃ ≈ y(0.75)를 추정하시오.

y′ = −2tyy(0) = 1h = 0.25

y₃ =

3용액

1.미분방정식

답: y(1) = 1.19

2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = e^rt를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·e^rt(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0으로 쓰면 ω_n은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.

특성근

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

초기값으로부터 구한 상수

A + B = 5, −2A − 3B = -4

A = 11, B = −6

계산하기

y(1) = 11·e⁻² + (−6)·e⁻³ = 1.19

답

y(1) = 1.19

2.미분방정식

답: y_max = 2.19

정상값과 근

y_ss = 2, r = −1.5 ± 2j

초기값으로부터 구한 상수

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1.5A + 2B = 0 → B = −1.5

최고점

t = π/2 = 1.571

y_max = 2·(1 + e^−1.5·π/2) = 2.19

답

y_max = 2.19

3.적분

답: V = 1.571

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

원판법

V = π∫₀¹ x dx

적분하기

V = π·1·1²/2 = 1.571

답

V = 1.571

4.적분

답: A = 0.04167

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

교점

2x² = x → x = 0, x = 0.5

위에서 아래를 빼서 적분하기

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

답

A = 0.04167

5.도함수

답: f′(0.5) = 0.5841

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

곱의 법칙

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(1 + (−0.5)·x)

대입하기

f′(0.5) = 0.7788·(1 + (−0.25)) = 0.5841

답

f′(0.5) = 0.5841

6.도함수

답: b = −33

접점과 기울기

f(3) = 27

f′(x) = 6x + 2 → f′(3) = 20

x = 0에서의 접선 값

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 27 − 20·3 = −33

답

b = −33

7.수치해석

답: S = 0.8697

수치 적분: [a, b]를 폭 h = (b − a)/n인 n개의 띠로 나누고 절점을 x₀ … xₙ이라 합니다. 사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. 심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. 사다리꼴 공식의 오차는 h²처럼 줄어들고(한계 (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), 심프슨 공식의 오차는 h⁴처럼 줄어듭니다. 따라서 같은 절점이라면 심프슨 공식이 대개 훨씬 더 정확합니다.

절점과 값

h = 1

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0.841471 − 0.756802 = 2.609081

심프슨 공식

S = (1/3)·2.609081 = 0.8697

답

S = 0.8697

이 적분은 초등함수로 된 부정적분이 없으며, 바로 이럴 때 수치 공식이 필요합니다.

8.수치해석

답: y₃ = 0.6563

y′ = f(t, y)의 수치 해법: 오일러법은 각 단계의 시작점에서의 기울기를 따라 나아갑니다: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). 호인법(개선된 오일러법)은 시작점의 기울기와 오일러 예측점의 기울기를 평균합니다: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). 고전적 룽게–쿠타법(RK4)은 네 기울기를 결합합니다: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). 전역 오차는 오일러법이 h에, 호인법이 h²에, RK4가 h⁴에 비례합니다.

오일러 단계

y₁ = 1 + 0.25·(0) = 1

y₂ = 1 + 0.25·(−0.5) = 0.875

y₃ = 0.875 + 0.25·(−0.875) = 0.65625

그래프

y₃ = 0.6563

답

y₃ = 0.6563

정확한 값은 y(0.75) = 0.569783입니다.

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