미분방정식: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

도함수

거듭제곱 미분법: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′
몫의 미분법: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
연쇄 법칙: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
주요 도함수: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

방법

구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.

수치해석

이분법: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
뉴턴–랩슨법: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
선형 보간: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
사다리꼴 공식의 오차 한계: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
오일러: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
호인법: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

방법

근은 이분법이면 부호 변화를 확인하고, 뉴턴법이면 f와 f′를 계산하며, 반복값의 표에는 여섯 자리 이상을 유지하세요.
표의 값은 이웃한 두 점 사이를 선형으로 보간하세요.
적분은 h = (b − a)/n을 구하고, 모든 절점에서 f를 나열하고, 가중치(사다리꼴은 1, 2, …, 2, 1이고 짝수 n의 심프슨은 1, 4, 2, …, 4, 1)를 적용한 다음 h/2 또는 h/3을 곱하세요.
미분방정식은 t₀에서 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)(오일러) 또는 평균 기울기(호인)로 단계마다 한 줄씩, 요구된 t에 도달할 때까지 진행하세요.

2연습 문제

1.미분방정식보통

y(0) = 2, y′(0) = -1일 때 y″ + 4y′ + 4y = 0을(를) 푸시오. y(1.5)을(를) 구하시오.

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = -1

y(1.5) =

2.미분방정식어려움

시스템이 t ≥ 0에서 y″ + 2y′ + 17y = 85을 따르며 정지 상태에서 출발합니다: y(0) = 0, y′(0) = 0. 계단 응답의 최댓값 y_max을(를) 구하시오.

y″ + 2y′ + 17y = 85y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.적분보통

I = ∫₀^π/2 x·sin x dx (x는 라디안)을 계산하시오.

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

4.적분어려움

포물선 y = 1 − x²과 x축 사이 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 1 − x²

A =

5.도함수보통

f(x) = x·sin(2x)이라 합시다(x는 라디안). f′(1)를 구하세요.

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

6.도함수어려움

f(x) = x³ − 7.5x² + 18x + 4이라 합시다. 극솟점의 x좌표 x를 구하세요.

f(x) = x³ − 7.5x² + 18x + 4

x =

7.수치해석보통

사다리꼴 공식 n = 4으로 ∫₁³ 1/x dx를 근사하고 정확한 값과 비교하시오. 절대 오차 |E| = |T − I|를 구하시오.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 4

|E| =

8.수치해석어려움

y′ = t − y, y(0) = 3을(를) 단계 h = 0.25의 오일러법으로 t = 1.25까지 푸시오. 정확한 해는 y = t − 1 + (y₀ + 1)e^−t이다. 전역 오차 |E| = |y(1.25) − y₅|를 구하시오.

y′ = t − yy(0) = 3h = 0.25

|E| =

3용액

1.미분방정식

답: y(1.5) = 0.3236

2계 선형 방정식: y″ + b·y′ + c·y = 0에서 y = e^rt를 시도하면 특성방정식 r² + b·r + c = 0을 얻습니다. 서로 다른 두 실근 r₁ ≠ r₂이면 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t(과감쇠), 중근 r이면 y = (A + Bt)·e^rt(임계감쇠), 복소근 −α ± jω이면 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)(부족감쇠, 진동)입니다. 초기값 y(0)과 y′(0)이 A와 B를 정합니다. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0으로 쓰면 ω_n은 고유 진동수, ζ는 감쇠비이며, ζ < 1이면 진동합니다. 입력이 일정한 y″ + by′ + cy = c·K의 해는 정상값 K에 자유 응답을 더한 것입니다.

중근

(r + 2)² = 0 → r = −2

상수

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 2A → B = -1 + 4 = 3

계산하기

y(1.5) = (2 + 3·1.5)·e⁻³ = 0.3236

답

y(1.5) = 0.3236

2.미분방정식

답: y_max = 7.28

정상값과 근

y_ss = 5, r = −1 ± 4j

초기값으로부터 구한 상수

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −1.25

최고점

t = π/4 = 0.7854

y_max = 5·(1 + e^−1·π/4) = 7.28

답

y_max = 7.28

3.적분

답: I = 1

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

u와 dv 고르기

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

원시함수

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

극한

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

답

I = 1

4.적분

답: A = 1.333

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

영점

1 − x² = 0 → x = ±1

적분하기

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

답

A = 1.333

5.도함수

답: f′(1) = 0.077

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

곱의 법칙과 연쇄 법칙

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

대입하기

f′(1) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

답

f′(1) = 0.077

6.도함수

답: x = 3

도함수

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

f′(x) = 0 풀기

x = 2 또는 x = 3

어느 쪽이 무엇인지

f″(x) = 6x − 15: 극대에서는 음수, 극소에서는 양수.

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 3

답

x = 3

7.수치해석

답: |E| = 0.01805

수치 적분: [a, b]를 폭 h = (b − a)/n인 n개의 띠로 나누고 절점을 x₀ … xₙ이라 합니다. 사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. 심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. 사다리꼴 공식의 오차는 h²처럼 줄어들고(한계 (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), 심프슨 공식의 오차는 h⁴처럼 줄어듭니다. 따라서 같은 절점이라면 심프슨 공식이 대개 훨씬 더 정확합니다.

정확한 값

I = 1.098612

사다리꼴 공식

T = (0.5/2)·(1 + 2·0.666667 + 2·0.5 + 2·0.4 + 0.333333) = 1.116667

오차

|E| = |1.116667 − 1.098612| = 0.01805

답

|E| = 0.01805

상대 오차: 1.643%.

8.수치해석

답: |E| = 0.1968

y′ = f(t, y)의 수치 해법: 오일러법은 각 단계의 시작점에서의 기울기를 따라 나아갑니다: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). 호인법(개선된 오일러법)은 시작점의 기울기와 오일러 예측점의 기울기를 평균합니다: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). 고전적 룽게–쿠타법(RK4)은 네 기울기를 결합합니다: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). 전역 오차는 오일러법이 h에, 호인법이 h²에, RK4가 h⁴에 비례합니다.

오일러 단계

y₅ = 1.199219

정확한 값

y(1.25) = 1.396019

전역 오차

|E| = |1.396019 − 1.199219| = 0.1968

그래프

답

|E| = 0.1968

h를 절반으로 줄이면 오일러법의 오차가 대략 절반이 됩니다.

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