미분방정식
- 지수적 성장/감소
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 반감기
- k = ln 2 / t½
- 뉴턴의 냉각 법칙
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 적분 인자
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 혼합 탱크
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
미분방정식: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
적분
- 거듭제곱 미분법
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 정적분
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 주요 적분
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 곡선 사이의 넓이
- ∫ab (f − g) dx
방법
- 가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
- 거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 ex, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
- 함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
- 정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.
도함수
- 거듭제곱 미분법
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 곱의 법칙
- (uv)′ = u′v + uv′
- 몫의 미분법
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 연쇄 법칙
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 주요 도함수
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
방법
- 구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
- x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
- 필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
- 간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.
수치해석
- 이분법
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- 뉴턴–랩슨법
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 선형 보간
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 사다리꼴 공식
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- 심프슨 공식(n은 짝수)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 사다리꼴 공식의 오차 한계
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- 오일러
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- 호인법
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
방법
- 근은 이분법이면 부호 변화를 확인하고, 뉴턴법이면 f와 f′를 계산하며, 반복값의 표에는 여섯 자리 이상을 유지하세요.
- 표의 값은 이웃한 두 점 사이를 선형으로 보간하세요.
- 적분은 h = (b − a)/n을 구하고, 모든 절점에서 f를 나열하고, 가중치(사다리꼴은 1, 2, …, 2, 1이고 짝수 n의 심프슨은 1, 4, 2, …, 4, 1)를 적용한 다음 h/2 또는 h/3을 곱하세요.
- 미분방정식은 t₀에서 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)(오일러) 또는 평균 기울기(호인)로 단계마다 한 줄씩, 요구된 t에 도달할 때까지 진행하세요.
2연습 문제
1.미분방정식보통
82 °C의 커피 한 잔을 19 °C인 방에 둡니다. 16분 후 온도는 43 °C입니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. 시작 후 얼마나 지나야(t) 26 °C에 도달하나요?
T0 = 82 °CTa = 19 °CT(16) = 43 °CT = 26 °C
t = min
2.미분방정식어려움
y(0) = 0일 때 y′ + 3y = 2e−2t을(를) 푸세요. y(1)을(를) 구하세요.
y′ + 3y = 2e−2ty(0) = 0
y(1) =
3.적분보통
I = ∫₀π/2 x·cos x dx (x는 라디안)을 계산하시오.
∫₀π/2 x·cos x dx
I =
4.적분어려움
I = ∫₀2 x²·eˣ dx을(를) 계산하시오.
∫₀2 x²eˣ dx
I =
5.도함수보통
f(x) = (3x − 1)3이라 합시다. f′(−1)를 구하세요.
f(x) = (3x − 1)3x = −1
f′(−1) =
6.도함수어려움
f(x) = x3 + 1.5x2 − 4이라 합시다. 극댓점의 x좌표 x를 구하세요.
f(x) = x3 + 1.5x2 − 4
x =
7.수치해석보통
띠 n = 5개의 사다리꼴 공식으로 ∫03 √x·e−x dx를 근사하시오. T을(를) 구하시오.
f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 5
T =
8.수치해석어려움
y′ = t² + y², y(0) = 1에 대해 h = 0.2으로 호인법(개선된 오일러법)을 써서 y3 ≈ y(0.6)를 추정하시오.
y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0.2
y3 =
3용액
1.미분방정식
답: t = 36.43 min
1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·ekt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e∫p dx로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.
냉각 상수
k = ln(63/24)/16 = 0.06032 min⁻¹
목표 온도까지 걸리는 시간
t = ln(63/7)/0.06032 = 36.43 min
답
t = 36.43 min
2.미분방정식
답: y(1) = 0.1711
1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·ekt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e∫p dx로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.
적분 인자
μ = e3t
(e3ty)′ = 2et
일반해
y = 2/1·e−2t + C·e−3t = 2·e−2t + C·e−3t
초기 조건
0 = 2 + C → C = −2
계산하기
y(1) = 2·0.1353 + (−2)·0.04979 = 0.1711
답
y(1) = 0.1711
3.적분
답: I = 0.5708
부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.
u와 dv 고르기
u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x
원시함수
∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x
극한
(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0.5708
답
I = 0.5708
4.적분
답: I = 12.78
부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.
첫 번째 단계
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
두 번째 단계
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
극한
7.389·(2) − 1·2 = 12.78
답
I = 12.78
5.도함수
답: f′(−1) = 144
미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.
연쇄 법칙
f′(x) = 3·(3x − 1)2·3
대입하기
f′(−1) = 3·(−4)2·3 = 144
답
f′(−1) = 144
6.도함수
답: x = −1
미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.
도함수
f′(x) = 3x2 + 3x = 3·(x2 + x)
f′(x) = 0 풀기
x = −1 또는 x = 0
어느 쪽이 무엇인지
f″(x) = 6x + 3: 극대에서는 음수, 극소에서는 양수.
f″(−1) = −3, f″(0) = 3
x = −1
답
x = −1
7.수치해석
답: T = 0.6963
수치 적분: [a, b]를 폭 h = (b − a)/n인 n개의 띠로 나누고 절점을 x₀ … xₙ이라 합니다. 사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. 심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. 사다리꼴 공식의 오차는 h²처럼 줄어들고(한계 (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), 심프슨 공식의 오차는 h⁴처럼 줄어듭니다. 따라서 같은 절점이라면 심프슨 공식이 대개 훨씬 더 정확합니다.
절점과 값
h = 0.6
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0.425108 + 2·0.329942 + 2·0.221772 + 2·0.14054 + 0.0862337 = 2.320955
사다리꼴 공식
T = (0.6/2)·2.320955 = 0.6963
답
T = 0.6963
이 적분은 초등함수로 된 부정적분이 없으며, 바로 이럴 때 수치 공식이 필요합니다.
8.수치해석
답: y3 = 2.51
y′ = f(t, y)의 수치 해법: 오일러법은 각 단계의 시작점에서의 기울기를 따라 나아갑니다: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). 호인법(개선된 오일러법)은 시작점의 기울기와 오일러 예측점의 기울기를 평균합니다: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). 고전적 룽게–쿠타법(RK4)은 네 기울기를 결합합니다: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). 전역 오차는 오일러법이 h에, 호인법이 h²에, RK4가 h⁴에 비례합니다.
호인 단계
y₁ = 1 + (0.2/2)(1 + 1.48) = 1.248
y₂ = 1.248 + (0.2/2)(1.597504 + 2.617059) = 1.669456
y₃ = 1.669456 + (0.2/2)(2.947084 + 5.462508) = 2.510415
그래프
y3 = 2.51
답
y3 = 2.51
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