연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.
|V| = 7|E| = 10
1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.
|V| = 7|E| = 10
W =
7.정수론과 모듈러 연산보통
99을(를) 법으로 하는 37의 역원, 곧 0 < x < 99이고 37·x ≡ 1 (mod 99)인 수 x을(를) 구하시오.
a = 37n = 99
37−1 mod 99 =
8.정수론과 모듈러 연산어려움
메시지 m = 60을(를) RSA 공개 키 (n, e) = (697, 3)로 암호화하시오. 암호문 c을(를) 구하시오.
n = 697e = 3m = 60
c =
3용액
1.명제논리와 증명
답: ¬¬p → ¬(r ∨ q)
논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
함의의 부분
a = r ∨ q, b = ¬p
대우
¬b → ¬a = ¬¬p → ¬(r ∨ q)
답
¬¬p → ¬(r ∨ q)
대우는 원래 문장과 동치이므로 대우를 증명하면 원래 문장이 증명됩니다.
2.명제논리와 증명
답: N = 13
진리표: 서로 다른 변수가 n개인 식은 참값(1 = 참, 0 = 거짓)의 모든 조합마다 하나씩 2ⁿ개의 행을 가집니다. 안쪽부터 바깥쪽으로 작업하고 모든 부분식에 각각 열을 주세요. ¬a는 값을 뒤집습니다. a ∧ b는 둘 다 1일 때만 1입니다. a ∨ b는 둘 다 0일 때만 0입니다. a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0입니다. a ↔ b는 양쪽이 같을 때 1입니다.
열
c ∧ b; ¬(c ∧ b); d ↔ b; ¬(c ∧ b) ∧ (d ↔ b); ¬d; ¬c; ¬d ↔ ¬c; (¬d ↔ ¬c) → a; (¬(c ∧ b) ∧ (d ↔ b)) ∨ ((¬d ↔ ¬c) → a)
a을(를) 기준으로 나누기
a = 1: 8
a = 0: 5
N = 8 + 5 = 13
답
N = 13
3.집합, 관계, 함수
답: |(F − G) ∪ (G − F)| = 20
집합과 벤 다이어그램: A ∪ B는 A 또는 B(또는 둘 다)에 속하는 원소, A ∩ B는 둘 다에 속하는 원소, A − B는 A의 원소 중 B에 속하지 않는 원소이고, 여집합 A′는 U의 원소 중 A에 속하지 않는 모든 것입니다. 벤 다이어그램에서 모든 집합식은 영역들의 합집합이므로 영역별로 세세요. 포함·배제: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, 그리고 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
영역
F ∩ G: 2
F − G: 6 − 2 = 4
G − F: 18 − 2 = 16
(F ∪ G)′: 26 − (4 + 16 + 2) = 4
답
|(F − G) ∪ (G − F)| = 20
답
|(F − G) ∪ (G − F)| = 20
4.집합, 관계, 함수
답: (f ∘ f)(2) = 2
함수와 세기: 함수 f: A → B는 A의 모든 원소에 B의 상을 정확히 하나씩 대응시킵니다. 서로 다른 원소가 서로 다른 상을 가지면 f는 단사(일대일), B의 모든 원소가 상이면 전사(위로의 함수), 둘 다 성립하면 전단사입니다. |A| = m, |B| = n이면 함수는 nᵐ개, 단사 함수는 n!/(n − m)!개(m ≤ n)이고, 포함·배제에 따라 전사 함수는 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ개입니다. |𝒫(A)| = 2ᵐ, |A × B| = m·n입니다.
안쪽 함수
f(2) = 4
바깥쪽 함수
f(4) = 2
(f ∘ f)(2) = 2
답
(f ∘ f)(2) = 2
5.그래프 이론
답: 오일러 경로, 회로 없음
오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.
최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.
크루스칼 알고리즘
CE (3): 선택
AB (4): 선택
BC (6): 선택
GB (7): 선택
GC (9): 건너뜀, 사이클이 생김
GD (11): 선택
GE (12): 건너뜀, 사이클이 생김
DE (16): 건너뜀, 사이클이 생김
BD (18): 건너뜀, 사이클이 생김
EF (19): 선택
총 가중치
W = 3 + 4 + 6 + 7 + 11 + 19 = 50
답
W = 50
7.정수론과 모듈러 연산
답: 37−1 mod 99 = 91
역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
확장 유클리드 알고리즘
각 나머지 r은 r ≡ t·37 (mod 99)로 쓸 수 있습니다.
r = 99, t = 0
r = 37, q = 2, t = 1
r = 25, q = 1, t = −2
r = 12, q = 2, t = 3
r = 1, q = 12, t = −8
역행렬
1 ≡ −8·37 (mod 99)
x = 91
검산: 37·91 = 3367 = 34·99 + 1
답
37−1 mod 99 = 91
8.정수론과 모듈러 연산
답: c = 627
모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.