동역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

강체의 회전

G에 대한 관성 모멘트: 막대 mL²/12, 원판 ½mR², 고리 mR², 균일한 구 (2/5)mR², 속 빈 구 (2/3)mR²
평행축 정리: I = I_G + m·d²
회전 반지름: I = m·k²
끝에 대한 막대: I = mL²/3
운동 방정식: ΣM = I·α
rad/s 단위의 속도: ω = 2π·n/60
운동 에너지: E = ½·I·ω²
일과 일률: W = T·θ, P = T·ω
미끄러짐 없는 구름: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
각운동량: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
회전축에 대한 충돌: m·v·d = I·ω

방법

축을 정하세요: 고정된 회전축, 또는 구르는 물체의 질량 중심.
그 축에 대한 관성 모멘트를 기본 결과에서 구하세요. 축을 옮긴 경우에는 I = I_G + m·d²을 쓰세요.
방법을 고르세요: 가속도와 힘에는 ΣM = I·α, 속력에는 에너지(½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), 충돌과 갑작스러운 변화에는 각운동량.
직선 운동과 회전 운동은 v = ω·r, a = α·r로 연결하고, rpm을 rad/s로 환산하세요.

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.운동학보통

80 km/h로 달리던 자동차가 6.5 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동하는 데 걸리는 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 80 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

t = s

2.운동학어려움

공 A를 높이 10 m에서 가만히 떨어뜨린다. 같은 순간 바로 아래 지면에서 공 B를 22 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 두 공은 지면에서 몇 m 높이 y에서 만나는가?

H = 10 mv_0B = 22 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.뉴턴 법칙보통

6 kg과 5 kg인 질량이 가볍고 마찰 없는 도르래 양쪽에 가벼운 줄로 연결되어 매달려 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.뉴턴 법칙어려움

40° 경사로 위의 1 kg 블록이 경사로 꼭대기의 마찰 없는 도르래를 지나는 가벼운 줄로 매달린 6 kg 질량과 연결되어 있다. 매달린 질량은 아래로 움직인다. 블록과 경사로 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 1 kgm₂ = 6 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 16 m/s, 수평 위 60°로 14 m 떨어진 벽을 향해 찬다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 벽을 몇 m 높이 y에서 지나는가?

v₀ = 16 m/sθ = 60°x = 14 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.포물선 운동어려움

45 m 절벽 꼭대기에서 공을 26 m/s, 수평 위 35°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 절벽 밑 지면으로부터의 최고 높이 H을(를) 구하시오.

v₀ = 26 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.원운동보통

놀이공원의 로터에서 탑승자는 반지름 3.4 m인 수직 원통의 벽에 기대어 선다. 충분히 빨리 돌면 바닥이 내려가고 마찰이 탑승자를 붙잡는다. 정지 마찰 계수는 0.8이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 최소 회전수 n을(를) 분당 회전수로 구하시오.

r = 3.4 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.원운동어려움

길이 1.5 m의 가벼운 줄에 매단 0.7 kg 공을 연직 원으로 돌린다. 가장 낮은 점에서의 속력은 9 m/s이다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가장 높은 점에서 줄의 장력 T_top을(를) 구하시오.

m = 0.7 kgr = 1.5 mv_bottom = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.일과 에너지보통

블록이 수평과 30°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. 경사면을 따라 9 m 미끄러진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

θ = 30°μ = 0.3d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.일과 에너지어려움

질량 5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 2.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 2 m인 거친 수평 구간(μ = 0.25)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 4000 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 5 kgh = 2.5 mL = 2 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.운동량과 충돌보통

수평으로 40 m/s로 움직이던 7 kg 발사체가 폭발해 같은 직선을 따라 움직이는 두 파편으로 나뉜다. 5 kg 파편은 76 m/s로 앞으로 계속 움직인다. 2 kg 파편의 속도 v′₂(원래 방향을 양으로)을(를) 구하시오.

M = 7 kgu = 40 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 76 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.운동량과 충돌어려움

10 g 총알을 길이 1.8 m의 가벼운 줄에 매달린 1.5 kg 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 줄은 연직에서 최대 40°까지 흔들려 나간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 10 gM = 1.5 kgL = 1.8 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.강체의 회전보통

질량 11.5 kg, 길이 1.9 m인 균일한 가는 막대가 한쪽 끝이 핀으로 고정되어 수평으로 잡혀 있다. 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 놓은 직후 자유단의 가속도 a_tip을(를) 구하시오.

m = 11.5 kgL = 1.9 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.강체의 회전어려움

질량 1.5 kg, 길이 1.2 m인 균일한 가는 막대가 위쪽 끝의 마찰 없는 회전축에 정지 상태로 매달려 있다. 20 g의 총알이 수평으로 380 m/s로 날아와 회전축보다 1.03 m 아래에서 막대에 맞고 박힌다. 충돌 직후 막대의 각속도 ω을(를) 구하시오.

M = 1.5 kgL = 1.2 mm = 20 gv = 380 m/sd = 1.03 m

ω = rad/s

15.기어와 기어열보통

1440 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 30개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 32개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 96%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 5.5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 30N₂ = 32η = 96%

T₁ = N·m

16.기어와 기어열어려움

960 rpm의 15 kW 모터가 기어 A(잇수 12개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 25개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 20개)는 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 95%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 15 kWn_in = 960 rpmA = 12B = 25C = 20D = 60η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.용수철과 진자보통

k = 390 N/m인 스프링에 매단 3.5 kg 질량을 양의 방향으로 10 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 1.25 s에서 평형점으로부터의 변위 x(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 3.5 kgk = 390 N/mA = 10 cmt = 1.25 s

x = cm

18.용수철과 진자어려움

k = 380 N/m인 늘어나지 않은 수직 스프링의 아래 끝에 2.8 kg 질량을 달고 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 질량의 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

m = 2.8 kgk = 380 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.기계 진동보통

강성 40 kN/m인 스프링에 달린 25 kg 질량에 감쇠비 0.4을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk = 40 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.기계 진동어려움

40 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 15 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 10 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.운동학

답: t = 3.419 s

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

제동 시간

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/6.5 = 3.419 s

답

t = 3.419 s

2.운동학

답: y = 8.987 m

만나는 시간

위쪽을 양으로 하고, 지면은 y = 0입니다.

10 − ½g·t² = 22·t − ½g·t² → t = 10/22 = 0.4545 s

만나는 높이

y = 22·0.4545 − ½·9.81·0.4545² = 8.987 m

답

y = 8.987 m

3.뉴턴 법칙

답: T = 53.51 N

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

가속도

알짜 구동력은 무게의 차이이며, 전체 질량을 움직입니다.

a = (6 − 5)·9.81/(6 + 5) = 0.8918 m/s²

가벼운 질량에서 구한 장력

T − m₂·g = m₂·a → T = 5·(9.81 + 0.8918) = 53.51 N

답

T = 53.51 N

4.뉴턴 법칙

답: a = 7.4 m/s²

줄 방향의 힘

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 6.306 N

μ·m₁·g·cos θ = 0.7515 N

계의 가속도

a = (58.86 − 6.306 − 0.7515)/7 = 7.4 m/s²

답

a = 7.4 m/s²

5.포물선 운동

답: y = 9.227 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

벽까지의 시간

v_x = 16·cos 60° = 8 m/s

t = x/v_x = 14/8 = 1.75 s

그 시각의 높이

y = 13.86·1.75 − ½·9.81·1.75² = 9.227 m

답

y = 9.227 m

공은 벽에서 이미 내려가는 중입니다.

6.포물선 운동

답: H = 56.34 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

처음 수직 속력

v_y = 26·sin 35° = 14.91 m/s

절벽 위로 올라간 높이

Δh = v_y²/(2g) = 14.91²/(2·9.81) = 11.34 m

지면으로부터의 높이

H = 45 + 11.34 = 56.34 m

답

H = 56.34 m

7.원운동

답: n = 18.14 rpm

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

탑승자에 작용하는 힘

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

각속도

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·3.4)) = 1.899 rad/s

회전수

n = ω·60/(2π) = 18.14 rpm

답

n = 18.14 rpm

8.원운동

답: T_top = 3.465 N

꼭대기에서의 속력

높이 2r에 걸쳐 운동 에너지가 위치 에너지로 바뀝니다.

v_top² = 9² − 4·9.81·1.5 = 22.14 m²/s²

꼭대기에서의 힘

장력과 중력은 모두 아래, 중심을 향합니다.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.7·22.14/1.5 − 0.7·9.81 = 3.465 N

답

T_top = 3.465 N

9.일과 에너지

답: v = 6.513 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

경사면을 따른 에너지 수지

블록이 높이 d·sin θ만큼 내려가는 동안 마찰이 μmg·cos θ·d를 빼앗습니다. 질량이 소거됩니다.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.5 − 0.3·0.866)) = 6.513 m/s

답

v = 6.513 m/s

10.일과 에너지

답: x = 22.15 cm

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.25·2) = 98.1 J

최대 압축량

½kx² = 98.1 → x = √(2·98.1/4000) = 0.2215 m = 22.15 cm

답

x = 22.15 cm

11.운동량과 충돌

답: v′₂ = −50 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

충돌 전 운동량

p = M·u = 7·40 = 280 kg·m/s

충돌 후 운동량

280 = 5·76 + 2·v′₂

v′₂ = (280 − 380)/2 = −50 m/s

답

v′₂ = −50 m/s

음의 부호는 두 번째 파편이 뒤로 날아간다는 뜻입니다.

12.운동량과 충돌

답: v = 434 m/s

블록의 상승

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 40°) = 0.4211 m

충돌 후의 속력

V = √(2·9.81·0.4211) = 2.874 m/s

충돌

v = (m + M)·V/m = 1.51·2.874/0.01 = 434 m/s

답

v = 434 m/s

13.강체의 회전

답: a_tip = 14.71 m/s²

고정축 회전: 축에 대한 모멘트의 합은 I·α와 같습니다(ΣM = I·α). 병진에서 ΣF = m·a인 것과 같습니다. 에너지 형태로는, 토크 T가 각 θ(라디안)만큼 돌 때 한 일은 T·θ이며 운동 에너지 ½·I·ω²를 바꿉니다. 중력은 질량 중심의 m·g·Δh를 더하거나 뺍니다. 일률은 P = T·ω입니다.

핀에 대한 모멘트

놓는 순간 ω = 0이므로 구심 가속도가 없고 중심은 곧바로 아래로 가속합니다.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.9) = 7.745 rad/s²

자유단의 가속도

a_tip = α·L = 7.745·1.9 = 14.71 m/s²

답

a_tip = 14.71 m/s²

a_tip = 1.5·g는 길이와 상관없이 성립합니다. 자유단은 떨어뜨린 돌보다 빨리 떨어집니다.

14.강체의 회전

답: ω = 10.56 rad/s

구름과 각운동량: 미끄러지지 않고 구르는 물체는 v = ω·r이므로 운동 에너지는 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))입니다. 경사면에서는 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))가 됩니다. 어떤 축에 대해 외부 모멘트가 작용하지 않으면, 운동 에너지가 손실되더라도 그 축에 대한 각운동량은 일정합니다: I₁·ω₁ = I₂·ω₂.

충돌 후의 관성 모멘트

I = M·L²/3 + m·d² = 1.5·1.2²/3 + 0.02·1.03² = 0.7412 kg·m²

회전축에 대한 각운동량

회전축의 힘은 회전축을 지나므로 충돌하는 동안 거기에서 모멘트가 없습니다.

m·v·d = I·ω → ω = 0.02·380·1.03/0.7412 = 10.56 rad/s

답

ω = 10.56 rad/s

15.기어와 기어열

답: T₁ = 36.47 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/150.8 = 36.47 N·m

답

T₁ = 36.47 N·m

16.기어와 기어열

답: T_out = 841.6 N·m

출력 회전 속도

n_out = 960·(12/25)·(20/60) = 153.6 rpm

ω_out = 2π·153.6/60 = 16.08 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 15000·0.95² = 13538 W

T_out = P_out/ω_out = 13538/16.08 = 841.6 N·m

답

T_out = 841.6 N·m

17.용수철과 진자

답: x = 8.089 cm

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

각주파수

ω = √(390/3.5) = 10.56 rad/s

ω·t = 10.56·1.25 = 13.19 rad

변위

x = A·cos(ω·t) = 10·cos(13.19) = 8.089 cm

답

x = 8.089 cm

18.용수철과 진자

답: v_max = 0.8421 m/s

평형점과 진폭

x₀ = m·g/k = 2.8·9.81/380 = 0.07228 m = A

최대 속력

속력은 평형점에서 가장 큽니다.

ω = √(380/2.8) = 11.65 rad/s

v_max = A·ω = 0.07228·11.65 = 0.8421 m/s

답

v_max = 0.8421 m/s

19.기계 진동

답: f_d = 5.835 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(40000/25) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6.366·√(1 − 0.4²) = 5.835 Hz

답

f_d = 5.835 Hz

20.기계 진동

답: f_n = 1.949 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/10 → k_eq = 15·10/(15 + 10) = 6 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(6000/40) = 12.25 rad/s

f_n = 12.25/(2π) = 1.949 Hz

답

f_n = 1.949 Hz

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