동역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

강체의 회전

G에 대한 관성 모멘트: 막대 mL²/12, 원판 ½mR², 고리 mR², 균일한 구 (2/5)mR², 속 빈 구 (2/3)mR²
평행축 정리: I = I_G + m·d²
회전 반지름: I = m·k²
끝에 대한 막대: I = mL²/3
운동 방정식: ΣM = I·α
rad/s 단위의 속도: ω = 2π·n/60
운동 에너지: E = ½·I·ω²
일과 일률: W = T·θ, P = T·ω
미끄러짐 없는 구름: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
각운동량: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
회전축에 대한 충돌: m·v·d = I·ω

방법

축을 정하세요: 고정된 회전축, 또는 구르는 물체의 질량 중심.
그 축에 대한 관성 모멘트를 기본 결과에서 구하세요. 축을 옮긴 경우에는 I = I_G + m·d²을 쓰세요.
방법을 고르세요: 가속도와 힘에는 ΣM = I·α, 속력에는 에너지(½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), 충돌과 갑작스러운 변화에는 각운동량.
직선 운동과 회전 운동은 v = ω·r, a = α·r로 연결하고, rpm을 rad/s로 환산하세요.

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.운동학보통

72 km/h로 달리던 자동차가 4 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동하는 데 걸리는 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 72 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.운동학어려움

지면에서 30 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 13 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 13 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

30 kg 썰매를 수평 위 30° 방향의 로프로 160 N의 힘으로 평평한 눈 위에서 끈다. 운동 마찰 계수는 0.25이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 썰매의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 30 kgF = 160 Nθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 4 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 5.5 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 4 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 수평 위 35°로 발사하자 15 m 떨어진 곳에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사 속력 v₀을(를) 구하시오.

θ = 35°R = 15 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.포물선 운동어려움

55 m 절벽 꼭대기에서 공을 29 m/s, 수평 위 30°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 절벽 밑 지면으로부터의 최고 높이 H을(를) 구하시오.

v₀ = 29 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.원운동보통

길이 0.8 m인 줄에 매단 작은 공이 수평 원운동을 하며, 줄은 연직과 일정한 각 30°를 이룬다(원뿔 진자). g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공의 속력 v을(를) 구하시오.

L = 0.8 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.원운동어려움

길이 0.5 m인 줄에 매단 질량 1.3 kg인 공을 연직면에서 원운동시킨다. 최저점에서 공의 속력은 7.5 m/s이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 최저점에서 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 1.3 kgr = 0.5 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.일과 에너지보통

질량 5 kg인 블록이 수평과 30°를 이루는 경사면을 19 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.25이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.25d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.일과 에너지어려움

질량 1 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 4.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 1.5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.25)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 500 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 1 kgh = 4.5 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.운동량과 충돌보통

18 m/s로 움직이는 1400 kg 자동차가 정지해 있는 500 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 원래 운동 에너지의 몇 퍼센트 ΔK/K을(를) 잃는가?

m₁ = 1400 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.운동량과 충돌어려움

질량 0.2 kg인 공이 27 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 16 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 5 ms이다. 벽이 공에 가한 충격량의 크기 J을(를) 구하시오.

m = 0.2 kgv_in = 27 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.강체의 회전보통

관성 모멘트가 18 kg·m²인 플라이휠이 2100 rpm으로 회전한다. 브레이크가 일정한 마찰 토크 75 N·m를 가한다. 플라이휠이 멈추기 전까지 도는 회전수 N을(를) 구하시오.

I = 18 kg·m²n = 2100 rpmT_b = 75 N·m

N = rev

14.강체의 회전어려움

균일한 원판(질량 17 kg, 반지름 0.1 m)이 마찰 없는 수직 축에서 1050 rpm으로 자유롭게 회전한다. 질량 9 kg이고 반지름이 같은 얇은 고리를 정지 상태에서 축 중심에 맞춰 원판 위에 떨어뜨리면, 둘은 곧 함께 회전한다. 이 과정에서 잃는 운동 에너지 ΔE을(를) 구하시오.

M_disc = 17 kgM_ring = 9 kgR = 0.1 mn₁ = 1050 rpm

ΔE = J

15.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 1.5 kW 모터가 잇수 32개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 45개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 1.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 32N₂ = 45η = 98%

T₂ = N·m

16.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 18개)가 2900 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 40개)를 구동한다. 기어 C(잇수 18개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 72개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 2900 rpmA = 18B = 40C = 18D = 72

n_out = rpm

17.용수철과 진자보통

단진자의 길이는 0.6 m이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 작게 흔들릴 때의 주기 T을(를) 구하시오.

L = 0.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.용수철과 진자어려움

k = 20 N/m인 용수철에 매단 1 kg 물체를 평형 위치에서 4 cm 당겼다가 놓는다. 최대 가속도 a_max을(를) 구하시오.

m = 1 kgk = 20 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

19.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 30 mm 다음 5주기 뒤에 최댓값 2.4 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 30 mmx₅ = 2.4 mmn = 5

ζ =

20.기계 진동어려움

25 kg 질량이 스프링 k₃ = 100 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 20 kN/m, k₂ = 25 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.운동학

답: t = 5 s

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

제동 시간

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/4 = 5 s

답

t = 5 s

2.운동학

답: t = 4.131 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−30 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 30 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (13 + √(13² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.131 s

답

t = 4.131 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 2.833 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

수직항력

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 160·sin 30° = 214.3 N

수평 방향의 힘

m·a = F·cos θ − μ·N = 138.6 − 53.58

a = 84.99/30 = 2.833 m/s²

답

a = 2.833 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: T = 24.99 N

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 3.924)/9.5 = 5.266 m/s²

탁자 위 블록에서 구한 장력

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·5.266 + 3.924 = 24.99 N

답

T = 24.99 N

5.포물선 운동

답: v₀ = 12.51 m/s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

수평 도달 거리 공식을 v₀에 대해 풀기

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·15/sin 70°) = 12.51 m/s

답

v₀ = 12.51 m/s

6.포물선 운동

답: H = 65.72 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

처음 수직 속력

v_y = 29·sin 30° = 14.5 m/s

절벽 위로 올라간 높이

Δh = v_y²/(2g) = 14.5²/(2·9.81) = 10.72 m

지면으로부터의 높이

H = 55 + 10.72 = 65.72 m

답

H = 65.72 m

7.원운동

답: v = 1.505 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

원의 반지름

r = L·sin θ = 0.8·sin 30° = 0.4 m

속력

장력과 중력이 함께 안쪽 힘을 줍니다: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0.4·9.81·tan 30°) = 1.505 m/s

답

v = 1.505 m/s

8.원운동

답: T = 159 N

최저점에서의 힘

중심 방향(위쪽)이 양입니다.

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·7.5²/0.5 = 12.75 + 146.3 = 159 N

답

T = 159 N

9.일과 에너지

답: W_f = 201.8 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 49.05·0.866 = 42.48 N

F = μN = 0.25·42.48 = 10.62 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 10.62·19 = 201.8 J

답

W_f = 201.8 J

10.일과 에너지

답: x = 40.23 cm

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 9.81·(4.5 − 0.25·1.5) = 40.47 J

최대 압축량

½kx² = 40.47 → x = √(2·40.47/500) = 0.4023 m = 40.23 cm

답

x = 40.23 cm

11.운동량과 충돌

답: ΔK/K = 26.32 %

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·18/1900 = 13.26 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·1400·18² = 226800 J

K_after = ½·1900·13.26² = 167116 J

잃은 비율

ΔK/K = 59684/226800 = 26.32 %

답

ΔK/K = 26.32 %

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

12.운동량과 충돌

답: J = 8.6 N·s

운동량 변화

J = m·Δv = 0.2·(16 + 27) = 8.6 N·s

답

J = 8.6 N·s

13.강체의 회전

답: N = 923.6 rev

고정축 회전: 축에 대한 모멘트의 합은 I·α와 같습니다(ΣM = I·α). 병진에서 ΣF = m·a인 것과 같습니다. 에너지 형태로는, 토크 T가 각 θ(라디안)만큼 돌 때 한 일은 T·θ이며 운동 에너지 ½·I·ω²를 바꿉니다. 중력은 질량 중심의 m·g·Δh를 더하거나 뺍니다. 일률은 P = T·ω입니다.

각속도

ω = 2π·2100/60 = 219.9 rad/s

브레이크가 한 일은 운동 에너지와 같다

½·I·ω² = ½·18·219.9² = 435250 J

θ = 435250/75 = 5803 rad

회전수

N = θ/2π = 923.6 rev

답

N = 923.6 rev

14.강체의 회전

답: ΔE = 264.3 J

구름과 각운동량: 미끄러지지 않고 구르는 물체는 v = ω·r이므로 운동 에너지는 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))입니다. 경사면에서는 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))가 됩니다. 어떤 축에 대해 외부 모멘트가 작용하지 않으면, 운동 에너지가 손실되더라도 그 축에 대한 각운동량은 일정합니다: I₁·ω₁ = I₂·ω₂.

관성 모멘트

I₁ = ½·17·0.1² = 0.085 kg·m²

I₂ = 9·0.1² = 0.09 kg·m²

각운동량 보존

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 1050·0.085/0.175 = 510 rpm

충돌 전후의 운동 에너지

E₁ = ½·0.085·110² = 513.8 J

E₂ = ½·0.175·53.41² = 249.6 J

ΔE = 513.8 − 249.6 = 264.3 J

답

ΔE = 264.3 J

15.기어와 기어열

답: T₂ = 20.56 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100.5 = 14.92 N·m

출력 토크

T₂ = 14.92·45/32·0.98 = 20.56 N·m

답

T₂ = 20.56 N·m

16.기어와 기어열

답: n_out = 326.3 rpm

1단

n_B = 2900·18/40 = 1305 rpm = n_C

2단

n_out = 1305·18/72 = 326.3 rpm

답

n_out = 326.3 rpm

전체 기어비 = 8.889 : 1

17.용수철과 진자

답: T = 1.554 s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

단진자의 주기

T = 2π·√(0.6/9.81) = 1.554 s

답

T = 1.554 s

18.용수철과 진자

답: a_max = 0.8 m/s²

각주파수

ω = √(20/1) = 4.472 rad/s

최대 가속도

a_max = A·ω² = 0.04·4.472² = 0.8 m/s²

답

a_max = 0.8 m/s²

19.기계 진동

답: ζ = 0.08014

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/5)·ln(30/2.4) = 0.5051

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5051/√(39.48 + 0.2552) = 0.08014

답

ζ = 0.08014

20.기계 진동

답: f_n = 5.608 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 20 + 25 = 45 kN/m

k_eq = 45·100/(45 + 100) = 31.03 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(31034/25) = 35.23 rad/s

f_n = 35.23/(2π) = 5.608 Hz

답

f_n = 5.608 Hz

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