동역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

강체의 회전

G에 대한 관성 모멘트: 막대 mL²/12, 원판 ½mR², 고리 mR², 균일한 구 (2/5)mR², 속 빈 구 (2/3)mR²
평행축 정리: I = I_G + m·d²
회전 반지름: I = m·k²
끝에 대한 막대: I = mL²/3
운동 방정식: ΣM = I·α
rad/s 단위의 속도: ω = 2π·n/60
운동 에너지: E = ½·I·ω²
일과 일률: W = T·θ, P = T·ω
미끄러짐 없는 구름: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
각운동량: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
회전축에 대한 충돌: m·v·d = I·ω

방법

축을 정하세요: 고정된 회전축, 또는 구르는 물체의 질량 중심.
그 축에 대한 관성 모멘트를 기본 결과에서 구하세요. 축을 옮긴 경우에는 I = I_G + m·d²을 쓰세요.
방법을 고르세요: 가속도와 힘에는 ΣM = I·α, 속력에는 에너지(½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), 충돌과 갑작스러운 변화에는 각운동량.
직선 운동과 회전 운동은 v = ω·r, a = α·r로 연결하고, rpm을 rad/s로 환산하세요.

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.운동학보통

36 km/h로 달리던 운전자가 장애물을 본다. 반응 시간은 0.6 s이고, 그 후 자동차는 일정한 감속도 4.5 m/s²로 제동한다. 장애물을 본 순간부터의 총 정지 거리 d을(를) 구하시오.

v₀ = 36 km/ht_r = 0.6 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.운동학어려움

돌을 우물에 가만히 떨어뜨린다. 돌을 놓고 1.5 s 후에 물소리가 들린다. 음속은 343 m/s이고, 공기 저항은 무시하며 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 우물의 깊이 d을(를) 구하시오.

t_total = 1.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.뉴턴 법칙보통

질량 13 kg인 블록이 수평과 45°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.15이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 13 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 4.5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 2 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 30 m/s로 발사해 30 m 떨어진 곳에 떨어지게 해야 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가능한 두 발사각 중 작은 값 θ을(를) 구하시오.

v₀ = 30 m/sR = 30 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.포물선 운동어려움

공을 높이 35 m인 절벽 위에서 수평에서 50° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.원운동보통

자동차가 반지름 75 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.4이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 75 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

길이 1.2 m의 가벼운 줄에 매단 1.5 kg 공을 연직 원으로 돌린다. 가장 낮은 점에서의 속력은 9 m/s이다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가장 높은 점에서 줄의 장력 T_top을(를) 구하시오.

m = 1.5 kgr = 1.2 mv_bottom = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.일과 에너지보통

2 kg 공이 길이 3 m인 가벼운 줄에 매달려 있다. 줄이 연직과 30°를 이룰 때까지 옆으로 당겼다가 가만히 놓는다. 공이 가장 낮은 점을 지날 때 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 2 kgL = 3 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

10.일과 에너지어려움

질량 1 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 2 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 1.5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.15)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 5000 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 1 kgh = 2 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.운동량과 충돌보통

수평으로 12 m/s로 움직이던 15 kg 발사체가 폭발해 같은 직선을 따라 움직이는 두 파편으로 나뉜다. 1 kg 파편은 21 m/s로 앞으로 계속 움직인다. 14 kg 파편의 속도 v′₂(원래 방향을 양으로)을(를) 구하시오.

M = 15 kgu = 12 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 21 m/sm₂ = 14 kg

v′₂ = m/s

12.운동량과 충돌어려움

질량 0.3 kg인 공이 18 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 6 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 5 ms이다. 벽이 공에 작용한 평균 힘 F_avg을(를) 구하시오.

m = 0.3 kgv_in = 18 m/sv_out = 6 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.강체의 회전보통

질량 2 kg, 길이 1.2 m인 균일한 가는 막대가 한쪽 끝이 핀으로 고정되어 수평으로 잡혀 있다. 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 놓은 직후 자유단의 가속도 a_tip을(를) 구하시오.

m = 2 kgL = 1.2 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.강체의 회전어려움

균일한 원판(질량 3 kg, 반지름 0.35 m)이 마찰 없는 수직 축에서 850 rpm으로 자유롭게 회전한다. 질량 17 kg이고 반지름이 같은 얇은 고리를 정지 상태에서 축 중심에 맞춰 원판 위에 떨어뜨리면, 둘은 곧 함께 회전한다. 이 과정에서 잃는 운동 에너지 ΔE을(를) 구하시오.

M_disc = 3 kgM_ring = 17 kgR = 0.35 mn₁ = 850 rpm

ΔE = J

15.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 15 kW 모터가 잇수 40개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 45개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 15 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 40N₂ = 45η = 95%

T₁ = N·m

16.기어와 기어열어려움

2900 rpm의 4 kW 모터가 기어 A(잇수 24개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 50개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 25개)는 출력축의 기어 D(잇수 30개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 95%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 4 kWn_in = 2900 rpmA = 24B = 50C = 25D = 30η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.용수철과 진자보통

k = 350 N/m인 스프링에 매단 3.3 kg 질량을 양의 방향으로 11 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 0.2 s에서의 속도 v(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 3.3 kgk = 350 N/mA = 11 cmt = 0.2 s

v = m/s

18.용수철과 진자어려움

k = 350 N/m인 용수철에 매단 3.8 kg 물체를 평형 위치에서 20 cm 당겼다가 놓는다. 최대 가속도 a_max을(를) 구하시오.

m = 3.8 kgk = 350 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

19.기계 진동보통

강성 200 kN/m인 스프링에 달린 40 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 40 kgk = 200 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.기계 진동어려움

10 kg 질량이 스프링 k₃ = 80 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 20 kN/m, k₂ = 20 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.운동학

답: d = 17.11 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

반응 거리

d₁ = v₀·t_r = 10·0.6 = 6 m

제동 거리

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·4.5) = 11.11 m

합계

d = 6 + 11.11 = 17.11 m

답

d = 17.11 m

2.운동학

답: d = 10.59 m

시간의 두 부분

½·9.81·t₁² = 343·(1.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 514.5 = 0

낙하 시간

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·514.5))/(2·4.905) = 1.469 s

깊이

d = ½·9.81·1.469² = 10.59 m

답

d = 10.59 m

3.뉴턴 법칙

답: a = 5.896 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

답

a = 5.896 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: a = 1.66 m/s²

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 8.829)/6.5 = 1.66 m/s²

답

a = 1.66 m/s²

5.포물선 운동

답: θ = 9.543 °

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

수평 도달 거리 공식

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·30/30² = 0.327

위상각

2θ = 19.09° → θ = 9.543°

답

θ = 9.543°

다른 해는 90° − θ = 80.46°입니다.

6.포물선 운동

답: x = 47.1 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 50° = 10.93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 50° = 13.02 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 35 + 13.02·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.02 + √(169.6 + 686.7))/9.81 = 4.31 s

수평 거리

x = v_x·t = 10.93·4.31 = 47.1 m

답

x = 47.1 m

7.원운동

답: v_max = 17.16 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·75) = 17.16 m/s

답

v_max = 17.16 m/s (61.76 km/h)

8.원운동

답: T_top = 27.68 N

꼭대기에서의 속력

높이 2r에 걸쳐 운동 에너지가 위치 에너지로 바뀝니다.

v_top² = 9² − 4·9.81·1.2 = 33.91 m²/s²

꼭대기에서의 힘

장력과 중력은 모두 아래, 중심을 향합니다.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.5·33.91/1.2 − 1.5·9.81 = 27.68 N

답

T_top = 27.68 N

9.일과 에너지

답: T = 24.88 N

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d). 원 궤도에서는 중심을 향한 알짜힘이 mv²/r과 같아야 합니다.

바닥에서의 속력

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 30°) = 7.886 m²/s²

바닥에서의 힘

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·7.886/3 = 24.88 N

답

T = 24.88 N

검산: T = mg(3 − 2cos θ) = 24.88 N.

10.일과 에너지

답: x = 8.346 cm

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 9.81·(2 − 0.15·1.5) = 17.41 J

최대 압축량

½kx² = 17.41 → x = √(2·17.41/5000) = 0.08346 m = 8.346 cm

답

x = 8.346 cm

11.운동량과 충돌

답: v′₂ = 11.36 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

충돌 전 운동량

p = M·u = 15·12 = 180 kg·m/s

충돌 후 운동량

180 = 1·21 + 14·v′₂

v′₂ = (180 − 21)/14 = 11.36 m/s

답

v′₂ = 11.36 m/s

12.운동량과 충돌

답: F_avg = 1440 N

운동량 변화

J = m·Δv = 0.3·(6 + 18) = 7.2 N·s

평균 힘

F_avg = J/Δt = 7.2/0.005 = 1440 N

답

F_avg = 1440 N

13.강체의 회전

답: a_tip = 14.71 m/s²

고정축 회전: 축에 대한 모멘트의 합은 I·α와 같습니다(ΣM = I·α). 병진에서 ΣF = m·a인 것과 같습니다. 에너지 형태로는, 토크 T가 각 θ(라디안)만큼 돌 때 한 일은 T·θ이며 운동 에너지 ½·I·ω²를 바꿉니다. 중력은 질량 중심의 m·g·Δh를 더하거나 뺍니다. 일률은 P = T·ω입니다.

핀에 대한 모멘트

놓는 순간 ω = 0이므로 구심 가속도가 없고 중심은 곧바로 아래로 가속합니다.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.2) = 12.26 rad/s²

자유단의 가속도

a_tip = α·L = 12.26·1.2 = 14.71 m/s²

답

a_tip = 14.71 m/s²

a_tip = 1.5·g는 길이와 상관없이 성립합니다. 자유단은 떨어뜨린 돌보다 빨리 떨어집니다.

14.강체의 회전

답: ΔE = 668.9 J

구름과 각운동량: 미끄러지지 않고 구르는 물체는 v = ω·r이므로 운동 에너지는 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))입니다. 경사면에서는 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))가 됩니다. 어떤 축에 대해 외부 모멘트가 작용하지 않으면, 운동 에너지가 손실되더라도 그 축에 대한 각운동량은 일정합니다: I₁·ω₁ = I₂·ω₂.

관성 모멘트

I₁ = ½·3·0.35² = 0.1837 kg·m²

I₂ = 17·0.35² = 2.082 kg·m²

각운동량 보존

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 850·0.1837/2.266 = 68.92 rpm

충돌 전후의 운동 에너지

E₁ = ½·0.1837·89.01² = 727.9 J

E₂ = ½·2.266·7.217² = 59.02 J

ΔE = 727.9 − 59.02 = 668.9 J

답

ΔE = 668.9 J

15.기어와 기어열

답: T₁ = 149.2 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/100.5 = 149.2 N·m

답

T₁ = 149.2 N·m

16.기어와 기어열

답: T_out = 29.72 N·m

출력 회전 속도

n_out = 2900·(24/50)·(25/30) = 1160 rpm

ω_out = 2π·1160/60 = 121.5 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 4000·0.95² = 3610 W

T_out = P_out/ω_out = 3610/121.5 = 29.72 N·m

답

T_out = 29.72 N·m

17.용수철과 진자

답: v = −1 m/s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

각주파수

ω = √(350/3.3) = 10.3 rad/s

ω·t = 10.3·0.2 = 2.06 rad

속도

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.11·10.3·sin(2.06) = −1 m/s

답

v = −1 m/s

18.용수철과 진자

답: a_max = 18.42 m/s²

각주파수

ω = √(350/3.8) = 9.597 rad/s

최대 가속도

a_max = A·ω² = 0.2·9.597² = 18.42 m/s²

답

a_max = 18.42 m/s²

19.기계 진동

답: f_d = 10.74 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(200000/40) = 70.71 rad/s

f_n = 70.71/(2π) = 11.25 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.3²) = 10.74 Hz

답

f_d = 10.74 Hz

20.기계 진동

답: f_n = 8.219 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 20 + 20 = 40 kN/m

k_eq = 40·80/(40 + 80) = 26.67 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(26667/10) = 51.64 rad/s

f_n = 51.64/(2π) = 8.219 Hz

답

f_n = 8.219 Hz

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