동역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

강체의 회전

G에 대한 관성 모멘트: 막대 mL²/12, 원판 ½mR², 고리 mR², 균일한 구 (2/5)mR², 속 빈 구 (2/3)mR²
평행축 정리: I = I_G + m·d²
회전 반지름: I = m·k²
끝에 대한 막대: I = mL²/3
운동 방정식: ΣM = I·α
rad/s 단위의 속도: ω = 2π·n/60
운동 에너지: E = ½·I·ω²
일과 일률: W = T·θ, P = T·ω
미끄러짐 없는 구름: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
각운동량: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
회전축에 대한 충돌: m·v·d = I·ω

방법

축을 정하세요: 고정된 회전축, 또는 구르는 물체의 질량 중심.
그 축에 대한 관성 모멘트를 기본 결과에서 구하세요. 축을 옮긴 경우에는 I = I_G + m·d²을 쓰세요.
방법을 고르세요: 가속도와 힘에는 ΣM = I·α, 속력에는 에너지(½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), 충돌과 갑작스러운 변화에는 각운동량.
직선 운동과 회전 운동은 v = ω·r, a = α·r로 연결하고, rpm을 rad/s로 환산하세요.

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.운동학보통

일정한 22 m/s로 과속하는 자동차가 정지해 있는 경찰차를 지나간다. 그 순간 경찰차가 출발해 4 m/s²로 균일하게 가속한다. 경찰차는 출발점에서 얼마나 떨어진 곳에서 따라잡는가? d을(를) 구하시오.

v_car = 22 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.운동학어려움

지면에서 20 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 20 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 20 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

8 kg과 1 kg인 질량이 가볍고 마찰 없는 도르래 양쪽에 가벼운 줄로 연결되어 매달려 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 질량들의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 8 kgm₂ = 1 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 1.5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 5 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 1.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 50° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿을 때까지의 비행 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 38 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.포물선 운동어려움

40 m 절벽 꼭대기에서 공을 32 m/s, 수평 위 60°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 절벽 밑 지면으로부터의 최고 높이 H을(를) 구하시오.

v₀ = 32 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.원운동보통

자동차가 반지름 100 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.5이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 100 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

반지름 240 m인 커브가 25° 기울어져 있고, 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 자동차가 위쪽 바깥으로 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 240 mθ = 25°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.일과 에너지보통

질량 5 kg인 블록이 수평과 30°를 이루는 경사면을 16 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.1이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.1d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.일과 에너지어려움

질량 2.5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 3.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 4.5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.1)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 4000 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 2.5 kgh = 3.5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.운동량과 충돌보통

수평으로 12 m/s로 움직이던 12 kg 발사체가 폭발해 같은 직선을 따라 움직이는 두 파편으로 나뉜다. 8 kg 파편은 68 m/s로 앞으로 계속 움직인다. 4 kg 파편의 속도 v′₂(원래 방향을 양으로)을(를) 구하시오.

M = 12 kgu = 12 m/sm₁ = 8 kgv′₁ = 68 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.운동량과 충돌어려움

1800 kg 자동차가 주차된 1600 kg 자동차를 들이받는다. 잔해는 한 덩어리가 되어 16 m 미끄러진 뒤 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.75이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 직전 첫 번째 자동차의 속력 v₁을(를) 구하시오.

m₁ = 1800 kgm₂ = 1600 kgd = 16 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.강체의 회전보통

모터가 1000 rpm에서 1040 N·m의 토크를 낸다. 출력 P을(를) kW로 구하시오.

T = 1040 N·mn = 1000 rpm

P = kW

14.강체의 회전어려움

질량 11 kg의 균일한 원기둥이(가) 5.5 m/s로 미끄러짐 없이 구른다. 회전 운동 에너지 E_rot을(를) 구하시오.

m = 11 kgv = 5.5 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.기어와 기어열보통

1450 rpm의 1.1 kW 모터가 줄 수 3인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 40개이고 구동 장치의 효율은 60%이다. 휠 축의 출력 토크 T_w을(를) 구하시오.

z = 3N_w = 40n = 1450 rpmP = 1.1 kWη = 60%

T_w = N·m

16.기어와 기어열어려움

1440 rpm의 4 kW 모터가 기어 A(잇수 18개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 32개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 16개)는 출력축의 기어 D(잇수 36개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 98%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 4 kWn_in = 1440 rpmA = 18B = 32C = 16D = 36η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.용수철과 진자보통

k = 390 N/m인 스프링에 매단 0.9 kg 질량을 양의 방향으로 11 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 0.35 s에서의 속도 v(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 0.9 kgk = 390 N/mA = 11 cmt = 0.35 s

v = m/s

18.용수철과 진자어려움

한 물체가 주기 3.7 s, 진폭 10 cm로 단조화 운동을 한다. 평형점에서 변위 7 cm까지 움직이는 데 필요한 최단 시간 t은(는) 얼마인가?

T = 3.7 sA = 10 cmx = 7 cm

t = s

19.기계 진동보통

5 kg 질량이 강성 15 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 270 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 5 kgk = 15 kN/mc = 270 N·s/m

ζ =

20.기계 진동어려움

5 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 100 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 50 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.운동학

답: d = 242 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

같은 거리

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/4 = 11 s

거리

d = v·t = 22·11 = 242 m

답

d = 242 m

그 순간 경찰차는 2v = 44 m/s로 움직입니다.

2.운동학

답: t = 4.908 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−20 = 20·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 20·t − 20 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (20 + √(20² + 2·9.81·20))/9.81 = 4.908 s

답

t = 4.908 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 7.63 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

가속도

알짜 구동력은 무게의 차이이며, 전체 질량을 움직입니다.

a = (8 − 1)·9.81/(8 + 1) = 7.63 m/s²

답

a = 7.63 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: T = 13.58 N

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 2.943)/6.5 = 7.093 m/s²

탁자 위 블록에서 구한 장력

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·7.093 + 2.943 = 13.58 N

답

T = 13.58 N

5.포물선 운동

답: t = 5.935 s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 50° = 24.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 50° = 29.11 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·29.11/9.81 = 5.935 s

답

t = 5.935 s

6.포물선 운동

답: H = 79.14 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

처음 수직 속력

v_y = 32·sin 60° = 27.71 m/s

절벽 위로 올라간 높이

Δh = v_y²/(2g) = 27.71²/(2·9.81) = 39.14 m

지면으로부터의 높이

H = 40 + 39.14 = 79.14 m

답

H = 79.14 m

7.원운동

답: v_max = 22.15 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·100) = 22.15 m/s

답

v_max = 22.15 m/s (79.73 km/h)

8.원운동

답: v_max = 45.8 m/s

힘의 평형

마찰은 경사면 아래를 향합니다.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

속력

v = √(240·9.81·0.6945/0.7795) = 45.8 m/s

답

v_max = 45.8 m/s

(164.9 km/h)

9.일과 에너지

답: W_f = 67.97 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 49.05·0.866 = 42.48 N

F = μN = 0.1·42.48 = 4.248 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 4.248·16 = 67.97 J

답

W_f = 67.97 J

10.일과 에너지

답: x = 19.34 cm

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 24.53·(3.5 − 0.1·4.5) = 74.8 J

최대 압축량

½kx² = 74.8 → x = √(2·74.8/4000) = 0.1934 m = 19.34 cm

답

x = 19.34 cm

11.운동량과 충돌

답: v′₂ = −100 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

충돌 전 운동량

p = M·u = 12·12 = 144 kg·m/s

충돌 후 운동량

144 = 8·68 + 4·v′₂

v′₂ = (144 − 544)/4 = −100 m/s

답

v′₂ = −100 m/s

음의 부호는 두 번째 파편이 뒤로 날아간다는 뜻입니다.

12.운동량과 충돌

답: v₁ = 28.98 m/s

충돌 후의 속력

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·16) = 15.34 m/s

충돌에서의 운동량

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3400·15.34/1800 = 28.98 m/s

답

v₁ = 28.98 m/s

(104.3 km/h)

13.강체의 회전

답: P = 108.9 kW

고정축 회전: 축에 대한 모멘트의 합은 I·α와 같습니다(ΣM = I·α). 병진에서 ΣF = m·a인 것과 같습니다. 에너지 형태로는, 토크 T가 각 θ(라디안)만큼 돌 때 한 일은 T·θ이며 운동 에너지 ½·I·ω²를 바꿉니다. 중력은 질량 중심의 m·g·Δh를 더하거나 뺍니다. 일률은 P = T·ω입니다.

각속도

ω = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

전력

P = T·ω = 1040·104.7 = 108909 W = 108.9 kW

답

P = 108.9 kW

14.강체의 회전

답: E_rot = 83.19 J

구름과 각운동량: 미끄러지지 않고 구르는 물체는 v = ω·r이므로 운동 에너지는 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))입니다. 경사면에서는 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))가 됩니다. 어떤 축에 대해 외부 모멘트가 작용하지 않으면, 운동 에너지가 손실되더라도 그 축에 대한 각운동량은 일정합니다: I₁·ω₁ = I₂·ω₂.

병진 부분과 회전 부분

E_trans = ½·m·v² = ½·11·5.5² = 166.4 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.5·m·r²·(v/r)² = 0.5·166.4 = 83.19 J

답

E_rot = 83.19 J

15.기어와 기어열

답: T_w = 57.95 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

휠 속도

n_w = n·z/N_w = 1450·3/40 = 108.8 rpm

출력 토크

ω_w = 2π·108.8/60 = 11.39 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.6·1100/11.39 = 57.95 N·m

답

T_w = 57.95 N·m

16.기어와 기어열

답: T_out = 101.9 N·m

출력 회전 속도

n_out = 1440·(18/32)·(16/36) = 360 rpm

ω_out = 2π·360/60 = 37.7 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 4000·0.98² = 3842 W

T_out = P_out/ω_out = 3842/37.7 = 101.9 N·m

답

T_out = 101.9 N·m

17.용수철과 진자

답: v = −1.93 m/s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

각주파수

ω = √(390/0.9) = 20.82 rad/s

ω·t = 20.82·0.35 = 7.286 rad

속도

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.11·20.82·sin(7.286) = −1.93 m/s

답

v = −1.93 m/s

18.용수철과 진자

답: t = 0.4566 s

각주파수

ω = 2π/T = 2π/3.7 = 1.698 rad/s

시간에 대해 풀기

0.7 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.7) = 0.7754 rad

t = 0.7754/1.698 = 0.4566 s

답

t = 0.4566 s

19.기계 진동

답: ζ = 0.493

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·5) = 547.7 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 270/547.7 = 0.493

답

ζ = 0.493

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

20.기계 진동

답: k_eq = 33.33 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/50 → k_eq = 100·50/(100 + 50) = 33.33 kN/m

답

k_eq = 33.33 kN/m

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