전기공학개론: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

마디 해석

키르히호프 전류 법칙
ΣIin = ΣIout
가지 전류
I = (Va − Vb)/R
기준 마디
Vground = 0

방법

  1. 기준 마디(접지)를 정하고 나머지 마디 전압에 이름을 붙이세요.
  2. 미지의 마디마다 키르히호프 전류 법칙을 쓰세요. 각 가지로 나가는 전류의 합은 들어오는 전류의 합과 같습니다.
  3. 모든 가지 전류를 (Va − Vb)/R로 나타내세요.
  4. 연립방정식을 푼 다음 필요한 전류를 구하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2연습 문제

1.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
2.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩIR2​AR4​10 ΩBR6​12 Ω

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 10 ΩR5 = 2 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
3.마디 해석보통
−+Vs​ = 9 VIs​2.5 AAR1​15 ΩR2​8 ΩB

A와 B 사이의 전압원 Vₛ는 + 단자가 B에 있으므로 VB − VA = Vₛ가 됩니다. 슈퍼노드를 이용한 마디 해석법으로 마디 전압 VB (접지 기준)을(를) 구하시오.

Is = 2.5 AVs = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 8 Ω
VB = V
4.마디 해석어려움
R1​ = 12 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 4 Ω+−V1​9 VR3​8 ΩAR5​12 ΩBIs​1 A+−V2​18 V

마디 해석법을 이용해 마디 전압 VB (접지 기준)을(를) 구하시오.

V1 = 9 VIs = 1 AV2 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩR4 = 4 ΩR5 = 12 Ω
VB = V
5.테브난·노턴보통
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAab

노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 Ω
IN = A
6.테브난·노턴어려움
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​4 ΩAIs​4 ABRL​15 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 15 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 36 VIs = 4 AR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩRL = 15 Ω
IL = A
7.RC·RL 과도 현상보통
R = 33 Ωt = 0L100 mHi(t)

인덕터에 2 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. 전류가 0.5 A로 떨어지는 데 얼마나 걸리는가? t을(를) 구하시오.

i(0) = 2 AR = 33 ΩL = 100 mH
t = ms
8.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​9 Vt = 0R = 2.2 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 18 V이다. vC이(가) 15.3 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

Vs = 9 VR = 2.2 kΩC = 220 µFvC(0) = 18 V
t = ms
9.교류 임피던스와 페이저보통
120 V60 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 100 µF

직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 100 µF
φ = °
10.교류 임피던스와 페이저어려움
50 V100 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 100 µF+−VC​

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 VC을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 100 µF
VC = V
11.교류 전력과 역률보통
P = 31 kWQ = ?Sφ

단상 전동기가 230 V 전원에서 지상 역률 0.9로 31 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.

P = 31 kWpf = 0.9V = 230 V
Q = kvar
12.교류 전력과 역률어려움
230 V50 HzRs​ = 8 ΩXs​ = j3 ΩZL​ = ?

230 V(실효값), 50 Hz 전원의 내부 임피던스는 Zs = 8 + j3 Ω이다. 부하 임피던스 ZL은(는) 자유롭게 선택할 수 있다. 최대 전력을 위한 부하는 저항과 커패시터의 직렬로 만든다. 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

Vs = 230 V (rms)f = 50 HzZs = 8 + j3 Ω
C = µF
13.3상 전력보통
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M75 kW, η = 93%cos φ = 0.88

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 75 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 93%, 역률은 0.88(지상)이다. 전원의 선간 전압은 480 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.

Pout = 75 kWη = 93%cos φ = 0.88VL = 480 V
IL = A
14.3상 전력어려움
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 415 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 200 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.92(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 200 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.변압기보통
RL​ = 5 Ω511150 VV2​I1​ = ?I2​

권수비 N₁:N₂ = 5:1인 이상 변압기의 1차 권선에 1150 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 5 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I1을(를) 구하시오.

N1:N2 = 5:1V1 = 1150 VRL = 5 Ω
I1 = A
16.변압기어려움
50 kVA

단상 50 kVA 변압기의 철손은 200 W이고 정격 부하에서의 동손은 300 W이다. 효율이 최대가 되는 부하 Sη,max은(는) 몇 kVA인가?

S = 50 kVAPcore = 200 WPcu,fl = 300 W
Sη,max = kVA

3용액

1.저항의 직렬·병렬

답: IR1 = 2.406 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 4 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 3·14/(3+14) = 2.471 Ω
Req = R1 + 2.471 = 10 + 2.471 = 12.47 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 30/12.47 = 2.406 A

답

IR1 = 2.406 A
2.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 0.9145 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​10 ΩBR6​12 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 2 + 12 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 5.833 Ω
R3 + 5.833 = 17.83 Ω
R2 ∥ 17.83 = 1.798 Ω
Req = R1 + 1.798 = 10 + 1.798 = 11.8 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 12/11.8 = 1.017 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1.017·10 = 1.829 V
IR2 = VA/R2 = 1.829/2 = 0.9145 A

답

IR2 = 0.9145 A
3.마디 해석

답: VB = 16.17 V

마디 해석법: 기준 마디를 정하고, 모르는 마디 전압에 이름을 붙인 다음, 옴의 법칙 (I = ΔV/R)을 써서 각 미지 마디에서 키르히호프 전류 법칙을 세우고 연립 방정식을 풉니다.

슈퍼노드 만들기

A와 B 사이의 전압원에는 미지의 전류가 흐르므로 A나 B에서 따로 KCL을 쓸 수 없습니다. A, B와 전원을 하나의 슈퍼노드로 묶으세요. 들어오는 전류와 나가는 전류가 같습니다.

VB = VA + Vs = VA + 9
VA/R1 + VB/R2 = Is

풀기

VA/15 + (VA + 9)/8 = 2.5
VA = (2.5 − 9/8)/(1/15 + 1/8) = 7.174 V
VB = 7.174 + 9 = 16.17 V

답

VB = 16.17 V
4.마디 해석

답: VB = 13.48 V

마디 해석법: 기준 마디를 정하고, 모르는 마디 전압에 이름을 붙인 다음, 옴의 법칙 (I = ΔV/R)을 써서 각 미지 마디에서 키르히호프 전류 법칙을 세우고 연립 방정식을 풉니다.

R1​ = 12 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 4 Ω+−V1​9 VR3​8 ΩAR5​12 ΩBIs​1 A+−V2​18 V

마디 설정

접지는 아래 도선입니다. 알고 있는 마디 전압은 전원에서 바로 나옵니다 (V1 = 9 V, V2 = 18 V). 미지수: VA, VB.

마디 A에서 KCL

저항을 통해 A에서 나가는 전류는 전원이 A(으)로 밀어 넣는 전류와 같습니다.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/8 + (VA − 9)/12 + (VA − VB)/5 = 0
0.4083·VA − 0.2·VB = 0.75

마디 B에서 KCL

저항을 통해 B에서 나가는 전류는 전원이 B(으)로 밀어 넣는 전류와 같습니다.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/12 + (VB − VA)/5 + (VB − 18)/4 = 1
−0.2·VA + 0.5333·VB = 5.5

풀기

Δ = (0.4083)(0.5333) − (−0.2)(−0.2) = 0.1778
VA = Δ1/Δ = 1.5/0.1778 = 8.438 V
VB = Δ2/Δ = 2.396/0.1778 = 13.48 V

답

VB = 13.48 V
5.테브난·노턴

답: IN = 0.08421 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω단락R2​2 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 15·2/(15+2) = 1.765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.765 + 15 = 16.76 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·2/(15+2) = 1.412 V
IN​0.08421 ARth​16.76 Ωab

노턴 등가 회로

노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.

IN = Vth/Rth = 1.412/16.76 = 0.08421 A
6.테브난·노턴

답: IL = 2.851 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω단락R2​4 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 2·4/(2+4) = 1.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.333 + 15 = 16.33 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​4 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 24 + 4·1.333 = 29.33 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 29.33 + 4·15 = 89.33 V
Rth​ = 16.33 Ω+−Vth​89.33 VRL​15 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 89.33/(16.33 + 15) = 2.851 A
7.RC·RL 과도 현상

답: t = 4.201 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3.03 ms

시간에 대해 풀기

0.5 = 2·e−t/τ → t = τ·ln(2/0.5)
t = 3.03·ln(4) = 4.201 ms

답

t = 4.201 ms
8.RC·RL 과도 현상

답: t = 172.6 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 220 µF = 484 ms
vC(t) = 9 + (18 − 9)·e−t/τ

시간에 대해 풀기

15.3 = 9 + (9)·e−t/τ → e−t/τ = (15.3 − 9)/(18 − 9) = 0.7
t = τ·ln((18 − 9)/(15.3 − 9)) = 484·ln(1.429) = 172.6 ms

답

t = 172.6 ms
9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = −8.728 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−7.676)²) = 50.59 Ω

위상각

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−7.676/50) = −8.728°

답

φ = −8.728°
10.교류 임피던스와 페이저

답: VC = 4.6 V

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (141.2)²) = 173 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 50/173 = 0.289 A

커패시터 전압

VC = I·XC = 0.289·15.92 = 4.6 V

답

VC = 4.6 V
11.교류 전력과 역률

답: Q = 15.01 kvar

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

위상각

φ = arccos(0.9) = 25.84°, tan φ = 0.4843

무효 전력

Q = P·tan φ = 31·0.4843 = 15.01 kvar

답

Q = 15.01 kvar
12.교류 전력과 역률

답: C = 1061 µF

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

켤레 정합

부하 리액턴스는 전원 리액턴스를 상쇄하고, 부하 저항은 전원 저항과 같습니다.

ZL = Zs* = 8 − j3 Ω

정전 용량

XC = 3 Ω → C = 1/(2π·50·3) = 1061 µF

답

C = 1061 µF
13.3상 전력

답: IL = 110.2 A

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

전기 입력 전력

Pin = Pout/η = 75/0.93 = 80.65 kW

선전류

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 80645/(√3·480·0.88) = 110.2 A

답

IL = 110.2 A
14.3상 전력

답: Cph = 399.2 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0.8) = 200·0.75 = 150 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.92) = 200·0.426 = 85.2 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 64.8 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 21600/(314.2·415²) = 399.2 µF

답

Cph = 399.2 µF
15.변압기

답: I1 = 9.2 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

2차 전압과 전류

V2 = 1150/5 = 230 V
I2 = 230/5 = 46 A

1차 전류

이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/5 = 9.2 A

답

I1 = 9.2 A

확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·RL = 125 Ω이고, 1150/125도 같은 전류를 줍니다.

16.변압기

답: Sη,max = 40.82 kVA

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

동손 = 철손

x²·300 = 200 → x = √(200/300) = 0.8165

최대 효율에서의 부하

Sη,max = x·S = 0.8165·50 = 40.82 kVA

답

Sη,max = 40.82 kVA

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