전기공학개론: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

마디 해석

키르히호프 전류 법칙
ΣIin = ΣIout
가지 전류
I = (Va − Vb)/R
기준 마디
Vground = 0

방법

  1. 기준 마디(접지)를 정하고 나머지 마디 전압에 이름을 붙이세요.
  2. 미지의 마디마다 키르히호프 전류 법칙을 쓰세요. 각 가지로 나가는 전류의 합은 들어오는 전류의 합과 같습니다.
  3. 모든 가지 전류를 (Va − Vb)/R로 나타내세요.
  4. 연립방정식을 푼 다음 필요한 전류를 구하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2연습 문제

1.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.

V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
2.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​5 ΩBR6​25 Ω

전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 ΩR5 = 30 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
3.마디 해석보통
R1​10 Ω+−V1​10 VI1​R2​4 Ω−+V2​6 VR3​10 ΩA

그림과 같이 마디 A와 접지 사이에 세 가지가 연결되어 있다. 마디 해석법을 이용해 가지 1에서 화살표 방향으로 마디 A를 향해 위로 흐르는 전류 I1을(를) 구하시오.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩV2 = 6 VR2 = 4 ΩR3 = 10 Ω
I1 = A
4.마디 해석어려움
R1​ = 4 ΩR2​ = 20 ΩIR2​R4​ = 3 Ω+−V1​18 VR3​25 ΩAR5​10 ΩBIs​5 A+−V2​36 V

마디 해석법을 이용해 화살표 방향으로 R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 18 VIs = 5 AV2 = 36 VR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 ΩR4 = 3 ΩR5 = 10 Ω
IR2 = A
5.테브난·노턴보통
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAab

단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
6.테브난·노턴어려움
R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩAIs​0.5 ABRL​5 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 5 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 36 VIs = 0.5 AR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩRL = 5 Ω
IL = A
7.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​15 Vt = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 6.8 kΩC10 µF+−vC​

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 25 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.

Vs = 15 VR1 = 10 kΩR2 = 6.8 kΩC = 10 µFt = 25 ms
vC = V
8.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​9 Vt = 0R = 3.3 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 10 V이다. t = 40 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.

Vs = 9 VR = 3.3 kΩC = 10 µFvC(0) = 10 Vt = 40 ms
vC = V
9.교류 임피던스와 페이저보통
120 V500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 2.2 µFI

직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF
I = A
10.교류 임피던스와 페이저어려움
120 V200 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 30 ΩC = 22 µFI

저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 120 V(실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR1 = 50 ΩR2 = 30 ΩC = 22 µF
I = A
11.교류 전력과 역률보통
240 VR + jXP = 3192 W19 A

유도성 부하가 240 V(실효값) 단상 전원에서 19 A와 3192 W를 소비한다. 이 부하를 저항 R과 리액턴스 X의 직렬로 모델링한다. R을(를) 구하시오.

V = 240 VI = 19 AP = 3192 W
R = Ω
12.교류 전력과 역률어려움
240 V60 Hz부하6 kW, 0.7C68 µFI = ?

단상 부하가 240 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.7로 6 kW를 소비한다. 68 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 새 선전류 I을(를) 구하시오.

P = 6 kWpf1 = 0.7V = 240 Vf = 60 HzC = 68 µF
I = A
13.3상 전력보통
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M45 kW, η = 91%cos φ = 0.86

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 45 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 91%, 역률은 0.86(지상)이다. 전원의 선간 전압은 690 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.

Pout = 45 kWη = 91%cos φ = 0.86VL = 690 V
IL = A
14.3상 전력어려움
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 415 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.65(지상)로 80 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.92(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 80 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.92VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.변압기보통
8 Ω31

권수비 N₁:N₂ = 3:1인 이상 변압기의 2차 권선 양단에 8 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 권선 쪽에서 들여다본 저항 R1′을(를) 구하시오.

N1:N2 = 3:1RL = 8 Ω
R1′ = Ω
16.변압기어려움
pf 0.8150 kVA, η = 98.2%

단상 150 kVA 변압기의 철손은 1200 W이다. 정격 부하, 역률 0.8(지상)에서 효율은 98.2%이다. 전부하 동손 Pcu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 150 kVAPcore = 1200 Wpf = 0.8η = 98.2%
Pcu,fl = W

3용액

1.저항의 직렬·병렬

답: Req = 11 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 12 + 12 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 8·24/(8+24) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 5 + 6 = 11 Ω

답

Req = 11 Ω
2.저항의 직렬·병렬

답: IR1 = 1.395 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​5 ΩBR6​25 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 30 + 25 = 55 Ω
R4 ∥ 55 = 4.583 Ω
R3 + 4.583 = 19.58 Ω
R2 ∥ 19.58 = 2.601 Ω
Req = R1 + 2.601 = 6 + 2.601 = 8.601 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 12/8.601 = 1.395 A

답

IR1 = 1.395 A
3.마디 해석

답: I1 = 1.111 A

마디 해석법: 기준 마디를 정하고, 모르는 마디 전압에 이름을 붙인 다음, 옴의 법칙 (I = ΔV/R)을 써서 각 미지 마디에서 키르히호프 전류 법칙을 세우고 연립 방정식을 풉니다.

마디 A에서의 KCL

아래 도선을 접지로 잡습니다. 각 가지는 A에서 나가는 방향으로 (VA − Vk)/Rk의 전류가 흐르며, Vk는 그 가지 전원의 전압입니다(저항만 있으면 0). A에서 나가는 전류의 합은 0입니다.

(VA − 10)/10 + (VA − (−6))/4 + VA/10 = 0

VA 구하기

VA = (10/10 + (−6)/4 + 0/10) / (1/10 + 1/4 + 1/10) = −0.5/0.45 = −1.111 V

가지 전류

화살표는 가지를 따라 위쪽, 마디 A로 향합니다.

I1 = (10 − VA)/R1 = (10 − (−1.111))/10 = 1.111 A

답

I1 = 1.111 A

결과가 음수이면 실제 전류는 화살표와 반대로 흐릅니다.

4.마디 해석

답: IR2 = −0.9207 A

마디 해석법: 기준 마디를 정하고, 모르는 마디 전압에 이름을 붙인 다음, 옴의 법칙 (I = ΔV/R)을 써서 각 미지 마디에서 키르히호프 전류 법칙을 세우고 연립 방정식을 풉니다.

R1​ = 4 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​18 VR3​25 ΩAR5​10 ΩBIs​5 A+−V2​36 V

마디 설정

접지는 아래 도선입니다. 알고 있는 마디 전압은 전원에서 바로 나옵니다 (V1 = 18 V, V2 = 36 V). 미지수: VA, VB.

마디 A에서 KCL

저항을 통해 A에서 나가는 전류는 전원이 A(으)로 밀어 넣는 전류와 같습니다.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 18)/4 + (VA − VB)/20 = 0
0.34·VA − 0.05·VB = 4.5

마디 B에서 KCL

저항을 통해 B에서 나가는 전류는 전원이 B(으)로 밀어 넣는 전류와 같습니다.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/10 + (VB − VA)/20 + (VB − 36)/3 = 5
−0.05·VA + 0.4833·VB = 17

풀기

Δ = (0.34)(0.4833) − (−0.05)(−0.05) = 0.1618
VA = Δ1/Δ = 3.025/0.1618 = 18.69 V
VB = Δ2/Δ = 6.005/0.1618 = 37.11 V

답

IR2 = (VA − VB)/R2 = (18.69 − 37.11)/20 = −0.9207 A
5.테브난·노턴

답: Vth = 4 V

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω단락R2​20 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 6 = 12.67 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·20/(10+20) = 4 V
6.테브난·노턴

답: IL = 0.05098 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω단락R2​6 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.615 + 10 = 14.62 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8.308 + (−0.5)·4.615 = 6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6 + (−0.5)·10 = 1 V
Rth​ = 14.62 Ω+−Vth​1 VRL​5 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 1/(14.62 + 5) = 0.05098 A
7.RC·RL 과도 현상

답: vC = 2.798 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

Rth를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·6.8/(10 + 6.8) = 4.048 kΩ
vC(∞) = 15·6.8/(10 + 6.8) = 6.071 V

시정수

τ = Rth·C = 4.048·10 = 40.48 ms

충전 곡선

vC(t) = 6.071·(1 − e−25/40.48) = 2.798 V

답

vC = 2.798 V
8.RC·RL 과도 현상

답: vC = 9.298 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 10 µF = 33 ms
vC(t) = 9 + (10 − 9)·e−t/τ

주어진 시각의 전압

vC(40) = 9 + (1)·e−40/33 = 9.298 V

답

vC = 9.298 V
9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.3632 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (326.6)²) = 330.4 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 120/330.4 = 0.3632 A

답

I = 0.3632 A
10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 1.73 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XC = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 17.77 − j14.74 Ω

전체 임피던스

Z = 50 + 17.77 − j14.74 = 67.77 − j14.74 Ω
|Z| = √(67.77² + 14.74²) = 69.36 Ω

전류

I = V/|Z| = 120/69.36 = 1.73 A

답

I = 1.73 A
11.교류 전력과 역률

답: R = 8.842 Ω

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

유효 전력에서 구한 저항

R = P/I² = 3192/19² = 8.842 Ω

답

R = 8.842 Ω
12.교류 전력과 역률

답: I = 31.62 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = 6·tan(arccos 0.7) = 6.121 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·60·68·10⁻⁶ = 1477 var = 1.477 kvar
Q2 = 6.121 − 1.477 = 4.645 kvar

새 피상 전력

S2 = √(6² + 4.645²) = 7.588 kVA

새 선전류

I = S2/V = 7588/240 = 31.62 A

답

I = 31.62 A
13.3상 전력

답: IL = 48.11 A

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

전기 입력 전력

Pin = Pout/η = 45/0.91 = 49.45 kW

선전류

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 49451/(√3·690·0.86) = 48.11 A

답

IL = 48.11 A
14.3상 전력

답: Cph = 915.6 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 80·tan(acos 0.65) = 80·1.169 = 93.53 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.92) = 80·0.426 = 34.08 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 59.45 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 19817/(377·239.6²) = 915.6 µF

답

Cph = 915.6 µF
15.변압기

답: R1′ = 72 Ω

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

환산 저항

전압은 a배 커지고 전류는 a배 작아지므로 V/I의 비는 a²배 커집니다.

R1′ = a²·RL = 3²·8 = 72 Ω

답

R1′ = 72 Ω
16.변압기

답: Pcu,fl = 999.6 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

출력 전력과 입력 전력

Pout = 150·0.8 = 120 kW
Pin = 120000/0.982 = 122200 W

전체 손실과 동손

Ploss = 122200 − 120000 = 2200 W
Pcu,fl = 2200 − 1200 = 999.6 W

답

Pcu,fl = 999.6 W

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