FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

지반의 유효 응력

전응력
σ = Σγi·hi
간극 수압
u = γw·(z − zw)
유효 응력
σ′ = σ − u
물
γw = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
최종 응력
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
과압밀, σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
과압밀비
OCR = σ′p/σ′0
압밀 소요 시간
t = Tv·Hdr²/cv
배수 거리
Hdr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력
p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘
F = ρg·hc·A
압력 중심
yp = yc + Ic/(ycA)
직사각형
Ic = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역
Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속
V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실
hm = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값
입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하
Δp = ρ·g·hf
두 개의 개방 저수지
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식
V = (1/n)·R2/3·S1/2
유량
Q = A·V
동수 반경
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형
A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수
R = D/4
필요 경사
S = (n·Q/(A·R2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력
Pshaft = Ph/ηpump
전기 입력 동력
Pel = Pshaft/ηmotor
펌프 양정
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
시스템 손실
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치
FV = PV·(1 + i)n
현재 가치
PV = FV/(1 + i)n
연간 여러 기간
i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
연금의 미래 가치
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

방법

  1. 모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
  2. 이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
  3. 단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
  4. 답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
균등 현금 흐름
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
내부수익률
NPV = 0이 되는 r
의사 결정
NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

  1. 모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
  2. 각 현금흐름을 할인하세요: CFt/(1 + r)t.
  3. 모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
  4. IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수
z = (x − μ)/σ
x 미만
P(X < x) = Φ(z)
x 초과
P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이
Φ(z2) − Φ(z1)
백분위수
x = μ + z·σ

방법

  1. 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
  2. z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
  3. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
  4. 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
w0​ = 6 kN/mP = 35 kNABRA​ = ?4.5 m1.5 m

단순보(A에 힌지, B에 롤러)에 A의 6 kN/m에서 B의 0까지 선형으로 감소하는 분포 하중이 작용한다. A에서 4.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P도 작용한다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 6 mw0 = 6 kN/mP = 35 kN 위치 4.5 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
w = 8 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?RB​3 m2 m4 m1 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 10 mP = 10 kN 위치 5 mw = 8 kN/m, 3부터 9 m까지
RA = kN
3.트러스: 절점법보통
ABBCACACB20 kN6 m4 m2 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 2 mB는 A에서 4 m연직 하중 = 20 kN
FBC = kN
4.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB30 kN15 kN5 m1 m2 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 2 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 30 kN수평 하중 = 15 kN ←
FAB = kN
5.전단력과 휨 모멘트보통
P1​ = 75 kNP2​ = 80 kNAB1.5 m1.5 m1 m

단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 4 mP1 = 75 kN 위치 1.5 mP2 = 80 kN 위치 3 m
Mmax = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 3 kN/mABC8 m1.5 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 9.5 mw = 3 kN/m, 0부터 9.5 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점
Mmax = kN·m
7.보의 처짐보통
w = 4 kN/mδL = 1.5 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 4 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.보의 처짐어려움
P = 65 kNAB2.5 m2.5 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 5 mP = 65 kN 위치 2.5 m
RB = kN
9.기둥의 좌굴보통
PL = 2 md = 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 95 kNL = 1.5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 95 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 95 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
1401526014x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1402018010xM = 40 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.

bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 180 mmM = 40 kN·m
σ아래 = MPa
13.지반의 유효 응력보통
모래γd​ = 17 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³10 m지하수위Xz = 4 m

그림의 지반 단면에서 점 X의 간극 수압 u을(를) 구하시오.

z = 4 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³모래: γd = 17 kN/m³모래: γsat = 20 kN/m³
u = kPa
14.지반의 유효 응력어려움
모래γd​ = 17 kN/m³γsat​ = 18.5 kN/m³4 m점토γsat​ = 18 kN/m³7 m지하수위Xz = 7.5 m

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 전응력 σ을(를) 구하시오.

z = 7.5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³모래: γd = 17 kN/m³모래: γsat = 18.5 kN/m³점토: γsat = 18 kN/m³
σ = kPa
15.압밀 침하보통
Δσ = 160 kPa모래점토Cc​ = 0.35, Cr​ = 0.02e0​ = 0.9σ′0​ = 85 kPaOCR = 24.5 m지하수위

두께 4.5 m인 과압밀 점토층의 Cc = 0.35, Cr = 0.02, e₀ = 0.9이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 85 kPa 이고, 과압밀비는 OCR = 2이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 160 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 4.5 mCc = 0.35Cr = 0.02e0 = 0.9σ′0 = 85 kPaOCR = 2Δσ = 160 kPa
S = mm
16.압밀 침하어려움
모래점토H = 7 mcv​ = 4 m²/연도7 m모래지하수위

두께 7 m인 점토층의 압밀 계수는 cv = 4 m²/year이다. 두 모래층 사이에 있으므로 물이 위아래로 빠져나간다. 평균 압밀도 90%에 대한 시간 계수는 Tv = 0.848이다. 이 층이 압밀도 90%에 도달하는 데 몇 년 t이(가) 걸리는가?

H = 7 mcv = 4 m²/연도U = 90%Tv = 0.848양면 배수
t = 년
17.정수압보통
수문d = 3 mH = 1 m

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.정수압어려움
수문d = 0.5 mH = 2.5 m

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 ycp을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.관 마찰과 손실 수두보통
Q = 3 L/sD = 75 mmL = 200 mf = 0.022

물이 길이 200 m, 안지름 75 mm인 관을 3 L/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.022, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.

Q = 3 L/sL = 200 mD = 75 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
20.관 마찰과 손실 수두어려움
K = 10Δz = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0.0153× 엘보 (K = 0.3)

두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 300 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 10), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 80 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?

Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
21.개수로 흐름(매닝)보통
b = 4.5 my = 0.7 mn = 0.015, S = 0.003

직사각형 벽돌 쌓기 수로의 폭은 4.5 m이다. 물이 수심 0.7 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.015, 수로 바닥 경사는 S = 0.003이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 4.5 my = 0.7 mn = 0.015S = 0.003
Q = m³/s
22.개수로 흐름(매닝)어려움
D = 200 mmn = 0.013, V = 0.6 m/s

안지름 200 mm인 콘크리트 하수관(매닝 n = 0.013)이 막 만수로 흐를 때 자정 유속 0.6 m/s에 도달해야 한다. 최소 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

D = 200 mmn = 0.013V = 0.6 m/s
S = m/m
23.펌프와 펌프 동력보통
PQ = 150 L/sH = 76 m

효율 72%인 펌프가 양정 76 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 150 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 150 L/sH = 76 mη = 72%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
24.펌프와 펌프 동력어려움
PQ = 20 L/sΔz = 26 mL = 150 m, D = 100 mm, f = 0.022, ΣK = 6

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 20 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 26 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 150 m, 안지름 100 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 6(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 72%이다. 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 20 L/sΔz = 26 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 6η = 72%
Pshaft = kW
25.화폐의 시간 가치보통
년0123PV = ?€50 000

3년 후 €50 000이 필요합니다. 계좌 이율은 연 4%, 월 복리입니다. 오늘 얼마를 예금해야 할까요? 현재 가치 PV를 구하세요.

FV = €50 0004% / 12n = 3
PV = €
26.화폐의 시간 가치어려움
개월0123…72€15 000A?AAA

€15 000의 대출을 6년 동안 매달 같은 금액으로 상환합니다. 이율은 연 4.2%, 월 복리입니다. 월 상환액 A를 구하세요.

P = €15 0004.2% / 12N = 72
A = €
27.NPV와 IRR보통
년0123−30 0008 00011 00010 000

€30 000을 투자하면 1년 차부터 3년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €8 000, €11 000, €10 000. 자본 비용은 6%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 6%CF0 = −30 000CF1 = 8 000CF2 = 11 000CF3 = 10 000
NPV = €
28.NPV와 IRR어려움
r (%)NPVABr* = ?0

프로젝트 A는 €10 000이(가) 들고 1~3년 차 말에 €5 500, €4 000, €2 500을(를) 돌려준다. 프로젝트 B는 €12 000이(가) 들고 €3 500, €5 000, €6 000을(를) 돌려준다. 두 프로젝트의 NPV가 같아지는 교차 수익률 r*을(를) 퍼센트로 구하시오.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 500, 5 000, 6 000
r* = %
29.정규분포보통
750 g754.9 gX + Y?

X는 평균 250 g, 표준편차 4 g인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 500 g, 표준편차 9 g인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 754.9 g보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 754.9 g
P =
30.정규분포어려움
μ = 500x = ?20%

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 20%가 그 아래에 있는 값 x(20 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 20%
x = h

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 20.75 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

삼각형 하중의 합력

W = ½·6·6 = 18 kN
x̄ = L/3 = 2 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·6 = 18·2 + 35·4.5
RB = 32.25 kN
RA = 53 − 32.25 = 20.75 kN

답

RA = 20.75 kN
2.보의 지점 반력

답: RA = 24.2 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

w = 8 kN/mP = 10 kNABRA​RB​3 m2 m4 m1 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, 작용점 x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·5 + 8·6·6
RB = 338/10 = 33.8 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 33.8 = 24.2 kN

답

RA = 24.2 kN
3.트러스: 절점법

답: FBC = −18.86 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 20·4 → Cy = 13.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 13.33 = 6.667 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13.33/0.7071 = −18.86 kN

답

FBC = −18.86 kN (압축)
4.트러스: 절점법

답: FAB = −33.54 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB30 kN15 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·1 − 15·2 → Cy = 0 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 0 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0.8944 = −33.54 kN

답

FAB = −33.54 kN (압축)
5.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 100.3 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

ΣMA = 0: RB·4 = 75·1.5 + 80·3
RB = 352.5/4 = 88.13 kN
ΣFy = 0: RA = 155 − 88.13 = 66.88 kN

각 하중 아래의 모멘트

각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.

아래 P1: M = RA·1.5 = 66.88·1.5 = 100.3 kN·m
아래 P2: M = RB·1 = 88.13·1 = 88.13 kN·m

최댓값

Mmax = 100.3 kN·m (아래 P1)

답

Mmax = 100.3 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 22.34 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·9.5 = 28.5 kN, 작용점 x̄ = 4.75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·9.5·4.75
RB = 135.4/8 = 16.92 kN
ΣFy = 0: RA = 28.5 − 16.92 = 11.58 kN

전단력 0

RA − w·x0 = 0 → x0 = 11.58/3 = 3.859 m

최대 정모멘트

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 11.58²/(2·3) = 22.34 kN·m

답

Mmax = 22.34 kN·m
7.보의 처짐

답: δ = 4.254 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·5.95 × 10¹¹) = 4.254 mm

답

δ = 4.254 mm
8.보의 처짐

답: RB = 20.31 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·65/16 = 20.31 kN

답

RB = 20.31 kN
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 347.3 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2000 = 2000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347.3 kN

답

Pcr = 347.3 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 48.46 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 48.46 mm

답

d = 48.46 mm

확인: 세장비 KL/r는 123.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 45.72 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 140·15 = 2100 mm², yf = 260 + 15/2 = 267.5 mm
웨브: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2100·267.5 + 3640·130)/5740 = 180.3 mm

평행축 정리

플랜지: 140·15³/12 + 2100·(267.5 − 180.3)² = 1.601 × 10⁷ mm⁴
웨브: 14·260³/12 + 3640·(130 − 180.3)² = 2.972 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.601 × 10⁷ + 2.972 × 10⁷ = 4.572 × 10⁷ mm⁴ = 45.72 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 45.72 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ아래 = 379.3 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 140·20 = 2800 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
웨브: Aw = 10·180 = 1800 mm², yw = 180/2 = 90 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·190 + 1800·90)/4600 = 150.9 mm

평행축 정리

플랜지: 140·20³/12 + 2800·(190 − 150.9)² = 4.381 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·180³/12 + 1800·(90 − 150.9)² = 1.153 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.381 × 10⁶ + 1.153 × 10⁷ = 1.591 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 150.9 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·150.9/1.591 × 10⁷ = 379.3 MPa

답

σ아래 = 379.3 MPa
13.지반의 유효 응력

답: u = 19.62 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γw·(지하수위 아래 깊이).

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γw·(z − zw) = 9.81·2 = 19.62 kPa

답

u = 19.62 kPa
14.지반의 유효 응력

답: σ = 135.5 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γw·(지하수위 아래 깊이).

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γd·1 + γsat,sand·3 + γsat,clay·3.5
σ = 17·1 + 18.5·3 + 18·3.5 = 135.5 kPa

답

σ = 135.5 kPa
15.압밀 침하

답: S = 145.8 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′f = σ′0 + Δσ. 정규 압밀 점토: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′p까지는 Cr을 따라 재압축되고, 그 이후에만 Cc를 따릅니다. 시간: t = Tv·Hdr²/cv이며, 배수 거리 Hdr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력

σ′p = OCR·σ′0 = 2·85 = 170 kPa

선행 압밀 압력과 비교

σ′f = 85 + 160 = 245 kPa > 170 kPa

침하량

σ′p까지는 재압축, 그 이후는 처녀 압축.

S = 0.02·4.5/(1 + 0.9)·log₁₀(170/85) + 0.35·4.5/(1 + 0.9)·log₁₀(245/170)
S = 14.26 + 131.6 = 145.8 mm

답

S = 145.8 mm
16.압밀 침하

답: t = 2.597 년

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′f = σ′0 + Δσ. 정규 압밀 점토: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′p까지는 Cr을 따라 재압축되고, 그 이후에만 Cc를 따릅니다. 시간: t = Tv·Hdr²/cv이며, 배수 거리 Hdr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

배수 거리

Hdr = H/2 = 7/2 = 3.5 m

시간

t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·3.5²/4 = 2.597 년

답

t = 2.597 년
17.정수압

답: F = 68.67 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
수문d = 3 mH = 1 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·2 = 68.67 kN

답

F = 68.67 kN
18.정수압

답: ycp = 2.048 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
수문d = 0.5 mH = 2.5 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.75·5 = 108.2 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

Ic = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.75 + 2.604/(1.75·5) = 2.048 m

답

ycp = 2.048 m
19.관 마찰과 손실 수두

답: hf = 1.379 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

평균 유속

A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.003/0.004418 = 0.6791 m/s

속도 수두

V²/(2g) = 0.6791²/(2·9.81) = 0.0235 m

다르시–바이스바흐 식

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(200/0.075)·0.6791²/(2·9.81) = 1.379 m

답

hf = 1.379 m
20.관 마찰과 손실 수두

답: Δz = 1.299 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m

손실 계수

f·L/D = 0.015·150/0.3 = 7.5
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

전체 손실 수두

hf = 7.5·0.06529 = 0.4896 m
hm = 12.4·0.06529 = 0.8095 m
Δz = hf + hm = 1.299 m

답

Δz = 1.299 m
21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 7.57 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = b·y = 4.5·0.7 = 3.15 m²
P = b + 2y = 4.5 + 2·0.7 = 5.9 m
R = A/P = 0.5339 m

속도

V = (1/0.015)·0.53392/3·0.0031/2 = 2.403 m/s

유량

Q = A·V = 3.15·2.403 = 7.57 m³/s

답

Q = 7.57 m³/s
22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.003303 m/m

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

동수 반경

R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.6/0.1357)² = 0.003303

답

S = 0.003303

1킬로미터당 3.303 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: Pshaft = 155.3 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·76 = 111.8 kW

축동력

Pshaft = Ph/η = 111.8/0.72 = 155.3 kW

답

Pshaft = 155.3 kW
24.펌프와 펌프 동력

답: Pshaft = 10.6 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

속도

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

손실 수두

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 6)·0.3305 = 12.89 m

펌프 양정

H = Δz + hL = 26 + 12.89 = 38.89 m

축동력

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·38.89/0.72 = 10.6 kW

답

Pshaft = 10.6 kW
25.화폐의 시간 가치

답: PV = 44355 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = 0.04/12 = 0.003333
N = 12·3 = 36

현재 가치

PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.127 = €44 354.87

답

PV = €44 354.87
26.화폐의 시간 가치

답: A = 236 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

월 이율과 상환 횟수

i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·6 = 72

상환액

같은 금액 A를 N번 지급하는 것의 현재 가치는 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i입니다. 이를 대출금과 같게 놓고 A를 구합니다.

(1 + i)−N = 0.7776
A = 15 000·0.0035/(1 − 0.7776) = €236.05

답

A = €236.05
27.NPV와 IRR

답: NPV = −4267 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 8 000/1.06 = 7 547.17
CF2/(1 + 0.06)2 = 11 000/1.124 = 9 789.96
CF3/(1 + 0.06)3 = 10 000/1.191 = 8 396.19

더하기

NPV = €−4 266.68

답

NPV = €−4 266.68

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

28.NPV와 IRR

답: r* = 5.302 %

교차 수익률: 두 프로젝트의 NPV가 같아지는 할인율입니다. 이는 두 현금흐름의 차이(B − A)의 IRR입니다. 그보다 낮으면 현금흐름이 늦고 큰 프로젝트의 NPV가 더 크고, 그보다 높으면 다른 프로젝트가 낫습니다.

현금흐름의 차이

ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 5 500 = −2 000
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 000 − 2 500 = 3 500

차이의 IRR

NPVΔ(5%) = 25.70
NPVΔ(6%) = −58.13
r* = 5.302%

답

r* = 5.302%

검산: 5.302%에서 두 NPV는 모두 €971.42입니다.

29.정규분포

답: P = 0.3085

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

표준화하기

z = (754.9 − 750)/9.849 = 0.5

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085

답

P = 0.3085
30.정규분포

답: x = 466.3 h

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

다시 x로

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

답

x = 466.34 h

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