FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

지반의 유효 응력

전응력: σ = Σγ_i·h_i
간극 수압: u = γ_w·(z − z_w)
유효 응력: σ′ = σ − u
물: γ_w = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
최종 응력: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
과압밀, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
과압밀비: OCR = σ′_p/σ′₀
압밀 소요 시간: t = T_v·H_dr²/c_v
배수 거리: H_dr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 4 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가, A에서 1 m 떨어진 곳에 반시계 방향 우력 M이 작용한다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 R_A을(를) 구하시오.

L = 6 mP = 15 kN 위치 4 mM = 10 kN·m (반시계 방향) 위치 1 m

R_A = kN

2.보의 지점 반력어려움

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 2 m 떨어진 곳에 수평과 40°를 이루는 하중 P가, A에서 1 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력 크기 R_A을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 50 kN 위치 2 m, θ = 40°Q = 60 kN 위치 1 m

R_A = kN

3.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 BC의 부재력 F_BC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 3 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 50 kN

F_BC = kN

4.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 BC의 부재력 F_BC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 3 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 30 kN수평 하중 = 10 kN ←

F_BC = kN

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

20 kN @ 4 m25 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

30 kN @ 6 m45 kN @ 2 m12 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.보의 처짐보통

단순보의 지점 A에서 a = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δ_P을(를) 구하시오.

P = 27 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 12 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

원형 관의 바깥지름은 D = 110 mm, 안지름은 d = 94 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

D = 110 mmd = 94 mm

r = mm

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

150 mm × 200 mm 판에 폭 60 mm, 높이 50 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 140 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 150 mmh = 200 mm절취부: 60 × 50 mm구멍 중심: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.지반의 유효 응력보통

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 유효 응력 σ′을(를) 구하시오.

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 16.5 kN/m³모래: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.지반의 유효 응력어려움

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 유효 응력 σ′을(를) 구하시오.

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 15.5 kN/m³모래: γ_sat = 20.5 kN/m³점토: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.압밀 침하보통

두께 7.5 m인 과압밀 점토층의 C_c = 0.35, C_r = 0.05, e₀ = 0.65이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 105 kPa 이고, 과압밀비는 OCR = 1.5이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 20 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 7.5 mC_c = 0.35C_r = 0.05e₀ = 0.65σ′₀ = 105 kPaOCR = 1.5Δσ = 20 kPa

S = mm

16.압밀 침하어려움

실내 압밀 시험에서 위아래로 배수되는 두께 25 mm의 점토 시료가 10분 만에 압밀도 50%에 도달한다. 현장에서는 같은 점토가 두께 5 m인 층을 이룬다. 두 모래층 사이에 있으므로 물이 위아래로 빠져나간다. 현장의 점토층이 압밀도 50%에 도달하는 데 며칠 t이(가) 걸리는가?

h_lab = 25 mmt_lab = 10 minH = 5 m현장: 양면 배수

t = 일

17.정수압보통

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.정수압어려움

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 400 m, 안지름 100 mm인 관을 4 L/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.018, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

Q = 4 L/sL = 400 mD = 100 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.관 마찰과 손실 수두어려움

길이 100 m, 안지름 100 mm(다르시 마찰 계수 f = 0.022)인 관이 개방 저수지에서 나와 대기 중으로 자유 분류로 유출된다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 15 L/s를 얻으려면 저수지 수면이 관 출구보다 얼마나 높아야 하는가(H)?

Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.개수로 흐름(매닝)보통

사다리꼴 벽돌 쌓기 수로의 바닥 폭은 2 m, 측면 경사는 1:1(수평:연직)이다. 물이 수심 2.2 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.015, 수로 바닥 경사는 S = 0.005이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 2 my = 2.2 mz = 1n = 0.015S = 0.005

Q = m³/s

22.개수로 흐름(매닝)어려움

안지름 600 mm인 콘크리트 하수관(매닝 n = 0.013)이 막 만수로 흐를 때 자정 유속 1.2 m/s에 도달해야 한다. 최소 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

D = 600 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

23.펌프와 펌프 동력보통

펌프가 양정 70 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 20 L/s 송출한다. 펌프 효율은 75%이고, 펌프를 구동하는 전동기의 효율은 92%이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 전동기가 소비하는 전력 P_el을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 20 L/sH = 70 mη_pump = 75%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 20 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 21 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 300 m, 안지름 100 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 20 L/sΔz = 21 mL = 300 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 8

H = m

25.화폐의 시간 가치보통

명목 연이율 2%, 월 복리로 €12 000을 투자합니다. 2년 후 투자 가치 FV를 구하세요.

PV = €12 0002% / 12n = 2

FV = €

26.화폐의 시간 가치어려움

€20 000의 대출을 연 4.2%, 월 복리로 6년 동안 매월 같은 금액으로 상환한다. 대출 기간 전체에 걸쳐 지급하는 총이자 I은(는) 얼마인가?

P = €20 0004.2% / 12N = 72

I = €

27.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €100 000이(가) 든다. 3년 동안 매년 말 €33 500을(를) 창출하고, 그 후 €10 000에 팔 수 있다. 자본 비용은 8%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €100 000CF = €33 500S = €10 000n = 3r = 8%

NPV = €

28.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €50 000이 들고 1년 차부터 2년 차 말까지 €31 500, €23 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −50 000CF₁ = 31 500CF₂ = 23 500

IRR = %

29.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 76에서 123.25 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 123.25

P =

30.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

3용액

1.보의 지점 반력

답: R_A = 6.667 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

A에 대한 모멘트

반시계 방향을 양으로.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 15·4 + 10 = 0

R_B = 50/6 = 8.333 kN

연직 방향 평형

R_A = 15 − 8.333 = 6.667 kN

답

R_A = 6.667 kN

음의 반력은 아래로 작용합니다.

2.보의 지점 반력

답: R_A = 72.09 kN

P의 성분

P_v = 50·sin 40° = 32.14 kN

P_h = 50·cos 40° = 38.3 kN

반력

ΣM_A = 0: R_B·4 = 32.14·2 + 60·1 → R_B = 31.07 kN

A_y = 32.14 + 60 − 31.07 = 61.07 kN

A_x = P_h = 38.3 kN

A의 합력

R_A = √(38.3² + 61.07²) = 72.09 kN

답

R_A = 72.09 kN

3.트러스: 절점법

답: F_BC = −36.44 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·3 → C_y = 18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 18.75 = 31.25 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18.75/0.5145 = −36.44 kN

답

F_BC = −36.44 kN (압축)

4.트러스: 절점법

답: F_BC = −8.385 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·2 − 10·3 → C_y = 3.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 3.75 = 26.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/6.708 = 0.4472, cos γ = 6/6.708 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3.75/0.4472 = −8.385 kN

답

F_BC = −8.385 kN (압축)

5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 27.5 kN, R₂ = 17.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 27.5, M_C = 30, M_D = 32.5, M_E = 35 kN·m, M_F = 17.5, M_G = 0

답

표시점 E: M_E = 35 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: C (x = 2 m)

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 51 kN, R₂ = 84 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 45, M_C = 78 kN·m, M_D = 54, M_E = 18, M_F = −30, M_G = 0

답

표시점 C: M_C = 78 kN·m

7.보의 처짐

답: δ_P = 38.1 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 27000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 27000·2000²·4000²/(3·2.52 × 10¹²·6000) = 38.1 mm

답

δ_P = 38.1 mm

8.보의 처짐

답: δ_max = 17.25 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 12000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·4000³/(48·1.7 × 10¹²) = 9.412 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 7.843 mm

더하기

δ_max = 9.412 + 7.843 = 17.25 mm

답

δ_max = 17.25 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 8.188 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1500² = 8188 N = 8.188 kN

답

P_cr = 8.188 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 24.48 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/6.25 = 168

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24.48 MPa

답

σ_cr = 24.48 MPa

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 36.17 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

A = π(D² − d²)/4 = 2564 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.354 × 10⁶ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(3.354 × 10⁶/2564) = 36.17 mm

답

r = 36.17 mm

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 94.04 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (30000·100 − 3000·140)/(30000 − 3000) = 95.56 mm

ȳ에 대한 전체 판

150·200³/12 + 30000·4.444² = 100.6 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

60·50³/12 + 3000·44.44² = 6.551 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 94.04 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 94.04 × 10⁶ mm⁴

13.지반의 유효 응력

답: σ′ = 94.02 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γ_w·(지하수위 아래 깊이).

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·1 + 19.5·8 = 172.5 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·8 = 78.48 kPa

유효 응력

σ′ = σ − u = 172.5 − 78.48 = 94.02 kPa

답

σ′ = 94.02 kPa

14.지반의 유효 응력

답: σ′ = 104.6 kPa

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 15.5·3 + 20.5·2 + 19·4 = 163.5 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

유효 응력

σ′ = σ − u = 163.5 − 58.86 = 104.6 kPa

답

σ′ = 104.6 kPa

15.압밀 침하

답: S = 17.21 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′_f = σ′₀ + Δσ. 정규 압밀 점토: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′_p까지는 C_r을 따라 재압축되고, 그 이후에만 C_c를 따릅니다. 시간: t = T_v·H_dr²/c_v이며, 배수 거리 H_dr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1.5·105 = 157.5 kPa

선행 압밀 압력과 비교

σ′_f = 105 + 20 = 125 kPa ≤ 157.5 kPa

침하량

점토는 재압축 곡선 위에 머뭅니다.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·7.5/(1 + 0.65)·log₁₀(125/105) = 17.21 mm

답

S = 17.21 mm

16.압밀 침하

답: t = 277.8 일

배수 거리

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 5/2 = 2.5 m

시간 환산

실내와 현장에서 T_v와 c_v가 같으므로 t = T_v·H_dr²/c_v.

t_field = 10·(2.5/0.0125)² = 400000 min

t_field = 400000/1440 = 277.8 일

답

t = 277.8 일

17.정수압

답: F = 36.79 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.25·3 = 36.79 kN

답

F = 36.79 kN

18.정수압

답: F = 184.5 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.75·4.5 = 184.5 kN

답

F = 184.5 kN

19.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 0.9519 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

평균 유속

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.004/0.007854 = 0.5093 m/s

속도 수두

V²/(2g) = 0.5093²/(2·9.81) = 0.01322 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(400/0.1)·0.5093²/(2·9.81) = 0.9519 m

답

h_f = 0.9519 m

20.관 마찰과 손실 수두

답: H = 5.466 m

속도

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

손실 계수

f·L/D = 0.022·100/0.1 = 22

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

에너지 방정식

출구 분류는 여전히 속도 수두를 가지고 있습니다. 손실은 아니지만 공급되어야 합니다.

H = (1 + 22 + 6.4)·0.1859 = 5.466 m

답

H = 5.466 m

21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 47.08 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·2.2)·2.2 = 9.24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2.2·√(1 + 1²) = 8.223 m

R = A/P = 1.124 m

속도

V = (1/0.015)·1.124^2/3·0.005^1/2 = 5.095 m/s

유량

Q = A·V = 9.24·5.095 = 47.08 m³/s

답

Q = 47.08 m³/s

22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.003053 m/m

동수 반경

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.2823)² = 0.003053

답

S = 0.003053

1킬로미터당 3.053 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: P_el = 19.9 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·70 = 13.73 kW

축동력

P_shaft = 13.73/0.75 = 18.31 kW

전기 입력 동력

P_el = 18.31/0.92 = 19.9 kW

답

P_el = 19.9 kW

24.펌프와 펌프 동력

답: H = 41.49 m

속도

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0.3305 = 20.49 m

펌프 양정

두 수면 모두 개방되어 있고 사실상 정지해 있으므로 압력 항과 속도 항은 없어집니다.

H = Δz + h_L = 21 + 20.49 = 41.49 m

답

H = 41.49 m

25.화폐의 시간 가치

답: FV = 12489 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667

N = m·n = 12·2 = 24

미래 가치

FV = 12 000·(1 + 0.001667)²⁴ = 12 000·1.041 = €12 489.31

답

FV = €12 489.31

26.화폐의 시간 가치

답: I = 2661 €

월 상환액

i = 0.0035, N = 72

A = 20 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)⁻⁷²) = €314.73

총 이자

I = N·A − P = 72·314.7 − 20 000 = €2 660.52

답

I = €2 660.52

27.NPV와 IRR

답: NPV = −5729 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

연간 현금흐름의 현재 가치

33 500·2.577 = 86 332.75

잔존 가치의 현재 가치

10 000/1.26 = 7 938.32

NPV

NPV = −100 000 + 86 332.75 + 7 938.32 = −€5 728.93

답

NPV = −€5 728.93

28.NPV와 IRR

답: IRR = 6.947 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(5%) = 1 315.19

NPV(10%) = −1 942.15

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 5 + 5·1 315.19/(1 315.19 − (−1 942.15)) = 7.019%

정확한 값: NPV(6.947%) = 0 → IRR = 6.947%

답

IRR = 6.947%

29.정규분포

답: P = 0.8846

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (76 − 100)/15 = −1.6

z₂ = (123.25 − 100)/15 = 1.55

사이의 넓이

P = Φ(1.55) − Φ(−1.6) = 0.9394 − 0.0548 = 0.8846

답

P = 0.8846

30.정규분포

답: x = 434.2 h

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h

답

x = 434.2 h

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