FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

지반의 유효 응력

전응력: σ = Σγ_i·h_i
간극 수압: u = γ_w·(z − z_w)
유효 응력: σ′ = σ − u
물: γ_w = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
최종 응력: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
과압밀, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
과압밀비: OCR = σ′_p/σ′₀
압밀 소요 시간: t = T_v·H_dr²/c_v
배수 거리: H_dr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 5 mP₁ = 30 kN 위치 3.5 mP₂ = 30 kN 위치 4 m

R_B = kN

2.보의 지점 반력어려움

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 8 mP = 60 kN 위치 2 mw = 6 kN/m, 1부터 7 m까지

R_B = kN

3.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 BC의 부재력 F_BC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 4 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 40 kN

F_BC = kN

4.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 3 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 45 kN수평 하중 = 20 kN →

F_AB = kN

5.전단력과 휨 모멘트보통

단순보의 A에서 x = 4 m인 곳에 시계 방향 우력 M₀ = 60 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 오른쪽의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mM₀ = 60 kN·m 시계 방향, 위치 4 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 6 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mP = 15 kN 위치 6 mw = 2 kN/m, 0부터 10 m까지x = 6 m

M_x = kN·m

7.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θ_A을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.보의 처짐어려움

단순보의 지점 B에서 b = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 경간 중앙의 처짐 δ_mid을(를) 구하시오.

P = 21 kNb = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 85 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 85 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

120 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 96 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

150 mm × 240 mm 판에 폭 30 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 144 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 150 mmh = 240 mm절취부: 30 × 40 mm구멍 중심: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.지반의 유효 응력보통

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 유효 응력 σ′을(를) 구하시오.

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 16 kN/m³모래: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.지반의 유효 응력어려움

그림의 지반 단면에서 점 X의 간극 수압 u을(를) 구하시오.

z = 7.5 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 16 kN/m³모래: γ_sat = 20 kN/m³점토: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.압밀 침하보통

두께 6.5 m인 과압밀 점토층의 C_c = 0.3, C_r = 0.06, e₀ = 0.9이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 105 kPa 이고, 선행 압밀 압력은 165 kPa이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 55 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 6.5 mC_c = 0.3C_r = 0.06e₀ = 0.9σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 165 kPaΔσ = 55 kPa

S = mm

16.압밀 침하어려움

두께 4.5 m인 점토층의 압밀 계수는 c_v = 3 m²/year이다. 아래는 불투수성 암반, 위는 모래이므로 물이 위로만 빠져나간다. 평균 압밀도 50%에 대한 시간 계수는 T_v = 0.197이다. 이 층이 압밀도 50%에 도달하는 데 몇 년 t이(가) 걸리는가?

H = 4.5 mc_v = 3 m²/연도U = 50%T_v = 0.197일면 배수

t = 년

17.정수압보통

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.정수압어려움

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 바닷물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 800 m, 안지름 100 mm인 관을 15 L/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.018, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

Q = 15 L/sL = 800 mD = 100 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 100 m, 안지름 300 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025인 관으로 연결되어 있다. 위 저수지의 수면은 아래 저수지 수면보다 28 m 높다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 Q을(를) L/s 단위로 구하시오.

Δz = 28 mL = 100 mD = 300 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.개수로 흐름(매닝)보통

직사각형 마감하지 않은 콘크리트 수로의 폭은 6 m이다. 물이 수심 2.3 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.014, 수로 바닥 경사는 S = 0.0008이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 6 my = 2.3 mn = 0.014S = 0.0008

Q = m³/s

22.개수로 흐름(매닝)어려움

바닥 폭 3 m, 측면 경사 2:1(수평:연직)인 사다리꼴 풀로 덮인 흙 수로가 수심 1.7 m의 등류로 20 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.03. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 20 m³/sb = 3 my = 1.7 mz = 2n = 0.03

S = m/m

23.펌프와 펌프 동력보통

펌프가 양정 16 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 40 L/s 송출한다. 펌프 효율은 75%이고, 펌프를 구동하는 전동기의 효율은 94%이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 전동기가 소비하는 전력 P_el을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 40 L/sH = 16 mη_pump = 75%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 60 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 8 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 100 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 5(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 300 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 5p_tank = 300 kPa

H = m

25.화폐의 시간 가치보통

연금이 15년 동안 매년 말 €500을(를) 지급한다. 이자율은 연 8%이다. 연금의 현재 가치 PV을(를) 구하시오.

A = €500i = 8%n = 15

PV = €

26.화폐의 시간 가치어려움

9년 동안 매달 말에 €300을 저축합니다. 계좌 이율은 연 7.2%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €3007.2% / 12N = 108

FV = €

27.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €30 000이(가) 든다. 7년 동안 매년 말 €5 000을(를) 창출하고, 그 후 €4 500에 팔 수 있다. 자본 비용은 12%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €30 000CF = €5 000S = €4 500n = 7r = 12%

NPV = €

28.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €20 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €14 000, €13 000, €9 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 000CF₂ = 13 000CF₃ = 9 500

IRR = %

29.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.4971이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.4971

z =

30.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 85%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 65 점σ = 10 점85%

x = 점

3용액

1.보의 지점 반력

답: R_B = 45 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3.5 + 30·4

R_B = 225/5 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 45 = 15 kN

답

R_B = 45 kN

2.보의 지점 반력

답: R_B = 33 kN

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, 작용점 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·2 + 6·6·4

R_B = 264/8 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 33 = 63 kN

답

R_B = 33 kN

3.트러스: 절점법

답: F_BC = −20 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·2 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 16 = 24 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16/0.8 = −20 kN

답

F_BC = −20 kN (압축)

4.트러스: 절점법

답: F_AB = −29.17 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·3 + 20·3 → C_y = 24.38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 24.38 = 20.63 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20.63/0.7071 = −29.17 kN

답

F_AB = −29.17 kN (압축)

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 12 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: R_B·L − M₀ = 0. 연직 평형: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/5 = 12 kN (위쪽)

R_A = −R_B = −12 kN (아래쪽)

우력 바로 오른쪽에서 자른다

이제 왼쪽 부분에는 R_A와 우력이 포함됩니다.

M_x = R_A·a + M₀ = −12·4 + 60 = 12 kN·m

답

M_x = 12 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 60 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, 작용점 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·6 + 2·10·5

R_B = 190/10 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 19 = 16 kN

x = 6 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 16·6 − 2·6·3 = 60 kN·m

답

M_x = 60 kN·m

7.보의 처짐

답: θ_A = 0.002381 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

끝 처짐각

θ_A = wL³/(24EI) = 6·2000³/(24·8.4 × 10¹¹) = 0.002381 rad

답

θ_A = 0.002381 rad

0.1364°입니다.

8.보의 처짐

답: δ_mid = 4.529 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 21000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

경간 중앙의 처짐

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 21000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·1.14 × 10¹³) = 4.529 mm

답

δ_mid = 4.529 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 168.4 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2500² = 168441 N = 168.4 kN

답

P_cr = 168.4 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 98.66 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 98.66 mm

답

d = 98.66 mm

확인: 세장비 KL/r는 243.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 136.7 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (28800·120 − 1963·96)/(28800 − 1963) = 121.8 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·240³/12 + 28800·−1.756² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·50⁴/64 + 1963·−25.76² = 1.609 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 136.7 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 136.7 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 171.9 × 10⁶ mm⁴

도심

ȳ = (36000·120 − 1200·144)/(36000 − 1200) = 119.2 mm

ȳ에 대한 전체 판

150·240³/12 + 36000·0.8276² = 172.8 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

30·40³/12 + 1200·24.83² = 0.8997 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 171.9 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 171.9 × 10⁶ mm⁴

13.지반의 유효 응력

답: σ′ = 58.07 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γ_w·(지하수위 아래 깊이).

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 18.5·3 = 87.5 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

유효 응력

σ′ = σ − u = 87.5 − 29.43 = 58.07 kPa

답

σ′ = 58.07 kPa

14.지반의 유효 응력

답: u = 34.34 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3.5 = 34.34 kPa

답

u = 34.34 kPa

15.압밀 침하

답: S = 37.55 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′_f = σ′₀ + Δσ. 정규 압밀 점토: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′_p까지는 C_r을 따라 재압축되고, 그 이후에만 C_c를 따릅니다. 시간: t = T_v·H_dr²/c_v이며, 배수 거리 H_dr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력과 비교

σ′_f = 105 + 55 = 160 kPa ≤ 165 kPa

침하량

점토는 재압축 곡선 위에 머뭅니다.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.06·6.5/(1 + 0.9)·log₁₀(160/105) = 37.55 mm

답

S = 37.55 mm

16.압밀 침하

답: t = 1.33 년

배수 거리

H_dr = H = 4.5 m

시간

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·4.5²/3 = 1.33 년

답

t = 1.33 년

17.정수압

답: F = 36.79 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·1.5 = 36.79 kN

답

F = 36.79 kN

18.정수압

답: F = 82.96 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.75·3 = 82.96 kN

답

F = 82.96 kN

19.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 26.77 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

평균 유속

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

속도 수두

V²/(2g) = 1.91²/(2·9.81) = 0.1859 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(800/0.1)·1.91²/(2·9.81) = 26.77 m

답

h_f = 26.77 m

20.관 마찰과 손실 수두

답: Q = 417.7 L/s

손실 계수

f·L/D = 0.025·100/0.3 = 8.333

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

에너지 방정식

두 수면 모두 대기에 열려 있고 사실상 정지해 있으므로 Δz 전체가 관에서 손실됩니다.

28 = (8.333 + 7.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·28/15.73) = 5.909 m/s

유량

Q = V·π·D²/4 = 5.909·0.07069 = 0.4177 m³/s = 417.7 L/s

답

Q = 417.7 L/s

21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 33.24 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = b·y = 6·2.3 = 13.8 m²

P = b + 2y = 6 + 2·2.3 = 10.6 m

R = A/P = 1.302 m

속도

V = (1/0.014)·1.302^2/3·0.0008^1/2 = 2.409 m/s

유량

Q = A·V = 13.8·2.409 = 33.24 m³/s

답

Q = 33.24 m³/s

22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.002938 m/m

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·1.7)·1.7 = 10.88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.7·√(1 + 2²) = 10.6 m

R = A/P = 1.026 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·20/(10.88·1.017) = 0.05421

S = 0.05421² = 0.002938

답

S = 0.002938

1킬로미터당 2.938 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: P_el = 8.906 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·16 = 6.278 kW

축동력

P_shaft = 6.278/0.75 = 8.371 kW

전기 입력 동력

P_el = 8.371/0.94 = 8.906 kW

답

P_el = 8.906 kW

24.펌프와 펌프 동력

답: H = 41.83 m

속도

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12.5 + 5)·0.1859 = 3.253 m

압력 수두

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

펌프 양정

두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 30.58 + 3.253 = 41.83 m

답

H = 41.83 m

25.화폐의 시간 가치

답: PV = 4280 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

연금 현가 계수

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3152)/0.08 = 8.559

현재 가치

PV = 500·8.559 = €4 279.74

답

PV = €4 279.74

26.화폐의 시간 가치

답: FV = 45401 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·9 = 108

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.908 − 1)/0.006 = €45 400.78

답

FV = €45 400.78

직접 넣은 돈은 €32 400이고 나머지는 이자입니다.

27.NPV와 IRR

답: NPV = −5146 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

연간 현금흐름의 현재 가치

5 000·4.564 = 22 818.78

잔존 가치의 현재 가치

4 500/2.211 = 2 035.57

NPV

NPV = −30 000 + 22 818.78 + 2 035.57 = −€5 145.65

답

NPV = −€5 145.65

28.NPV와 IRR

답: IRR = 40.4 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(40%) = 94.75

NPV(45%) = −1 045.55

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 40 + 5·94.75/(94.75 − (−1 045.55)) = 40.42%

정확한 값: NPV(40.4%) = 0 → IRR = 40.4%

답

IRR = 40.4%

29.정규분포

답: z = 0.67

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.4971)/2 = 0.7486

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.7486을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.67

답

z = 0.67

30.정규분포

답: x = 54.6 점

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.15

표에서 구한 z

z ≈ −1.04

원래 단위로 되돌리기

x = 65 − 1.04·10 = 54.6 점

답

x = 54.6 점

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