FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

지반의 유효 응력

전응력: σ = Σγ_i·h_i
간극 수압: u = γ_w·(z − z_w)
유효 응력: σ′ = σ − u
물: γ_w = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
최종 응력: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
과압밀, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
과압밀비: OCR = σ′_p/σ′₀
압밀 소요 시간: t = T_v·H_dr²/c_v
배수 거리: H_dr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 R_A을(를) 구하시오.

L = 10 mP₁ = 60 kN 위치 2 mP₂ = 55 kN 위치 4 m

R_A = kN

2.보의 지점 반력어려움

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 벽에서 12 kN/m이고 자유단 B에서 0으로 감소하는 선형 분포 하중과, 벽에서 3.5 m 떨어진 곳의 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

L = 5 mw₀ = 12 kN/mP = 65 kN 위치 3.5 m

M_A = kN·m

3.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AC의 부재력 F_AC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 2 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 30 kN

F_AC = kN

4.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 4 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 30 kN수평 하중 = 15 kN ←

F_AB = kN

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 2 m인 단면의 전단력 V_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mw = 8 kN/m, 0부터 5 m까지x = 2 m

V_x = kN

6.전단력과 휨 모멘트어려움

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

60 kN @ 12 m55 kN @ 2 m5 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 16 kNw = 2 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 I_req을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (강철)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 15 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 15 kN·m

σ_위 = MPa

13.지반의 유효 응력보통

그림의 지반 단면에서 점 X의 간극 수압 u을(를) 구하시오.

z = 12 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 16.5 kN/m³모래: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

14.지반의 유효 응력어려움

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 유효 응력 σ′을(를) 구하시오.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 15.5 kN/m³모래: γ_sat = 20 kN/m³점토: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.압밀 침하보통

두께 4 m인 과압밀 점토층의 C_c = 0.2, C_r = 0.02, e₀ = 0.6이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 50 kPa 이고, 과압밀비는 OCR = 3이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 60 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 4 mC_c = 0.2C_r = 0.02e₀ = 0.6σ′₀ = 50 kPaOCR = 3Δσ = 60 kPa

S = mm

16.압밀 침하어려움

두께 9 m인 점토층의 압밀 계수는 c_v = 1.5 m²/year이다. 두 모래층 사이에 있으므로 물이 위아래로 빠져나간다. 평균 압밀도 90%에 대한 시간 계수는 T_v = 0.848이다. 이 층이 압밀도 90%에 도달하는 데 몇 년 t이(가) 걸리는가?

H = 9 mc_v = 1.5 m²/연도U = 90%T_v = 0.848양면 배수

t = 년

17.정수압보통

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.정수압어려움

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 800 m, 안지름 300 mm인 관을 평균 유속 2.5 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.025, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

V = 2.5 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 300 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015인 관으로 연결되어 있다. 위 저수지의 수면은 아래 저수지 수면보다 16 m 높다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 2개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 10), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 Q을(를) L/s 단위로 구하시오.

Δz = 16 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

21.개수로 흐름(매닝)보통

사다리꼴 마감된 콘크리트 수로의 바닥 폭은 1 m, 측면 경사는 1.5:1(수평:연직)이다. 물이 수심 0.6 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.012, 수로 바닥 경사는 S = 0.0015이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 1 my = 0.6 mz = 1.5n = 0.012S = 0.0015

Q = m³/s

22.개수로 흐름(매닝)어려움

안지름 450 mm인 콘크리트 하수관(매닝 n = 0.013)이 막 만수로 흐를 때 자정 유속 0.9 m/s에 도달해야 한다. 최소 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

D = 450 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

23.펌프와 펌프 동력보통

효율 82%인 펌프가 양정 40 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 80 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 80 L/sH = 40 mη = 82%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 75 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 5 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 600 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 5(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 75 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 5

H = m

25.화폐의 시간 가치보통

€20 000을(를) 연 4%의 연속 복리로 투자한다. 20년 후의 가치 FV을(를) 구하시오.

PV = €20 000r = 4%t = 20

FV = €

26.화폐의 시간 가치어려움

17년 동안 매달 말에 €250을 저축합니다. 계좌 이율은 연 3.6%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €2503.6% / 12N = 204

FV = €

27.NPV와 IRR보통

한 프로젝트는 오늘 €200 000이(가) 든다. 첫해 말 €16 000을(를) 창출하고, 이후 현금흐름은 매년 2%씩 영구히 증가한다. 자본 비용은 11%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €200 000CF₁ = €16 000g = 2%r = 11%

NPV = €

28.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €20 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €7 500, €11 000, €11 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 11 000CF₃ = 11 500

IRR = %

29.정규분포보통

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 62.5에서 80.5 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 65σ = 10x₁ = 62.5x₂ = 80.5

P =

30.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

3용액

1.보의 지점 반력

답: R_A = 81 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·2 + 55·4

R_B = 340/10 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 34 = 81 kN

답

R_A = 81 kN

2.보의 지점 반력

답: M_A = 277.5 kN·m

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 R_A와 반력 모멘트 M_A를 줍니다. ΣF_y = 0에서 R_A가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 M_A = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

삼각형 하중의 합력

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = L/3 = 1.667 m

벽에 대한 모멘트

M_A = W·x̄ + P·a = 30·1.667 + 65·3.5 = 277.5 kN·m

답

M_A = 277.5 kN·m

3.트러스: 절점법

답: F_AC = 11.25 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 → C_y = 22.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22.5 = 7.5 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22.5/0.8944 = −25.16 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25.16)·0.4472 = 11.25 kN

답

F_AC = 11.25 kN (인장)

4.트러스: 절점법

답: F_AB = −38.65 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 − 15·4 → C_y = −7.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − −7.5 = 37.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −37.5/0.9701 = −38.65 kN

답

F_AB = −38.65 kN (압축)

5.전단력과 휨 모멘트

답: V_x = 4 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2.5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = R_A − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)

V_x = 20 − 8·2 = 4 kN

답

V_x = 4 kN

6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 31.25 kN, R₂ = 123.8 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 52.5, M_C = −25, M_D = −122.5, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

답

표시점 E: M_E = −240 kN·m

7.보의 처짐

답: δ = 15.83 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 16000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(3EI) = 16000·2500³/(3·5.88 × 10¹²) = 14.17 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·5.88 × 10¹²) = 1.661 mm

더하기

δ = 14.17 + 1.661 = 15.83 mm

답

δ = 15.83 mm

8.보의 처짐

답: I_req = 24 × 10⁶ mm⁴

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·8000⁴/(384·200000·22.22) = 2.4 × 10⁷ mm⁴

I_req = 24 × 10⁶ mm⁴

답

I_req = 24 × 10⁶ mm⁴

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 6.89 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6.89 kN

답

P_cr = 6.89 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 2.429 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533.3

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/533.3² = 2.429 MPa

답

σ_cr = 2.429 MPa

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 5.407 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

웨브: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·130 + 960·60)/6960 = 120.3 mm

평행축 정리

플랜지: 300·20³/12 + 6000·(130 − 120.3)² = 759334 mm⁴

웨브: 8·120³/12 + 960·(60 − 120.3)² = 4.648 × 10⁶ mm⁴

I_x = 759334 + 4.648 × 10⁶ = 5.407 × 10⁶ mm⁴ = 5.407 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 5.407 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 24.1 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

웨브: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·210 + 4000·100)/8400 = 157.6 mm

평행축 정리

플랜지: 220·20³/12 + 4400·(210 − 157.6)² = 1.222 × 10⁷ mm⁴

웨브: 20·200³/12 + 4000·(100 − 157.6)² = 2.661 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.222 × 10⁷ + 2.661 × 10⁷ = 3.883 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 220 − 157.6 = 62.38 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·62.38/3.883 × 10⁷ = 24.1 MPa

답

σ_위 = 24.1 MPa

13.지반의 유효 응력

답: u = 88.29 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γ_w·(지하수위 아래 깊이).

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·9 = 88.29 kPa

답

u = 88.29 kPa

14.지반의 유효 응력

답: σ′ = 93.45 kPa

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 15.5·3 + 20·3 + 18·2 = 142.5 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

유효 응력

σ′ = σ − u = 142.5 − 49.05 = 93.45 kPa

답

σ′ = 93.45 kPa

15.압밀 침하

답: S = 17.12 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′_f = σ′₀ + Δσ. 정규 압밀 점토: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′_p까지는 C_r을 따라 재압축되고, 그 이후에만 C_c를 따릅니다. 시간: t = T_v·H_dr²/c_v이며, 배수 거리 H_dr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·50 = 150 kPa

선행 압밀 압력과 비교

σ′_f = 50 + 60 = 110 kPa ≤ 150 kPa

침하량

점토는 재압축 곡선 위에 머뭅니다.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·4/(1 + 0.6)·log₁₀(110/50) = 17.12 mm

답

S = 17.12 mm

16.압밀 침하

답: t = 11.45 년

배수 거리

H_dr = H/2 = 9/2 = 4.5 m

시간

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·4.5²/1.5 = 11.45 년

답

t = 11.45 년

17.정수압

답: F = 14.71 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·1 = 14.71 kN

답

F = 14.71 kN

18.정수압

답: y_cp = 2.375 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 2.25/(2·3) = 2.375 m

답

y_cp = 2.375 m

19.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 21.24 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도 수두

V²/(2g) = 2.5²/(2·9.81) = 0.3186 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(800/0.3)·2.5²/(2·9.81) = 21.24 m

답

h_f = 21.24 m

20.관 마찰과 손실 수두

답: Q = 48.25 L/s

손실 계수

f·L/D = 0.015·300/0.15 = 30

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

에너지 방정식

두 수면 모두 대기에 열려 있고 사실상 정지해 있으므로 Δz 전체가 관에서 손실됩니다.

16 = (30 + 12.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·16/42.1) = 2.731 m/s

유량

Q = V·π·D²/4 = 2.731·0.01767 = 0.04825 m³/s = 48.25 L/s

답

Q = 48.25 L/s

21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 1.863 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (1 + 1.5·0.6)·0.6 = 1.14 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0.6·√(1 + 1.5²) = 3.163 m

R = A/P = 0.3604 m

속도

V = (1/0.012)·0.3604^2/3·0.0015^1/2 = 1.634 m/s

유량

Q = A·V = 1.14·1.634 = 1.863 m³/s

답

Q = 1.863 m³/s

22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.002521 m/m

동수 반경

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.233)² = 0.002521

답

S = 0.002521

1킬로미터당 2.521 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 38.28 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·40 = 31.39 kW

축동력

P_shaft = P_h/η = 31.39/0.82 = 38.28 kW

답

P_shaft = 38.28 kW

24.펌프와 펌프 동력

답: H = 19.52 m

속도

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 5)·0.2905 = 14.52 m

펌프 양정

두 수면 모두 개방되어 있고 사실상 정지해 있으므로 압력 항과 속도 항은 없어집니다.

H = Δz + h_L = 5 + 14.52 = 19.52 m

답

H = 19.52 m

25.화폐의 시간 가치

답: FV = 44511 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

지수

r·t = 0.04·20 = 0.8

e^0.8 = 2.226

미래 가치

FV = 20 000·2.226 = €44 510.82

답

FV = €44 510.82

26.화폐의 시간 가치

답: FV = 70202 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·17 = 204

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.842 − 1)/0.003 = €70 202.27

답

FV = €70 202.27

직접 넣은 돈은 €51 000이고 나머지는 이자입니다.

27.NPV와 IRR

답: NPV = −22222 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

현금흐름의 가치

PV = 16 000/(0.11 − 0.02) = 177 777.78

NPV

NPV = 177 777.78 − 200 000 = −€22 222.22

답

NPV = −€22 222.22

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

28.NPV와 IRR

답: IRR = 21.61 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(20%) = 543.98

NPV(25%) = −1 072.00

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 20 + 5·543.98/(543.98 − (−1 072.00)) = 21.68%

정확한 값: NPV(21.61%) = 0 → IRR = 21.61%

답

IRR = 21.61%

29.정규분포

답: P = 0.5381

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25

z₂ = (80.5 − 65)/10 = 1.55

사이의 넓이

P = Φ(1.55) − Φ(−0.25) = 0.9394 − 0.4013 = 0.5381

답

P = 0.5381

30.정규분포

답: x = 434.2 h

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h

답

x = 434.2 h

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