FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

지반의 유효 응력

전응력
σ = Σγi·hi
간극 수압
u = γw·(z − zw)
유효 응력
σ′ = σ − u
물
γw = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
최종 응력
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
과압밀, σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
과압밀비
OCR = σ′p/σ′0
압밀 소요 시간
t = Tv·Hdr²/cv
배수 거리
Hdr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력
p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘
F = ρg·hc·A
압력 중심
yp = yc + Ic/(ycA)
직사각형
Ic = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역
Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속
V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실
hm = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값
입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하
Δp = ρ·g·hf
두 개의 개방 저수지
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식
V = (1/n)·R2/3·S1/2
유량
Q = A·V
동수 반경
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형
A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수
R = D/4
필요 경사
S = (n·Q/(A·R2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력
Pshaft = Ph/ηpump
전기 입력 동력
Pel = Pshaft/ηmotor
펌프 양정
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
시스템 손실
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치
FV = PV·(1 + i)n
현재 가치
PV = FV/(1 + i)n
연간 여러 기간
i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
연금의 미래 가치
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

방법

  1. 모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
  2. 이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
  3. 단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
  4. 답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
균등 현금 흐름
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
내부수익률
NPV = 0이 되는 r
의사 결정
NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

  1. 모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
  2. 각 현금흐름을 할인하세요: CFt/(1 + r)t.
  3. 모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
  4. IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수
z = (x − μ)/σ
x 미만
P(X < x) = Φ(z)
x 초과
P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이
Φ(z2) − Φ(z1)
백분위수
x = μ + z·σ

방법

  1. 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
  2. z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
  3. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
  4. 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P1​ = 55 kNP2​ = 35 kNABRA​ = ?RB​1 m1.5 m1.5 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.

L = 4 mP1 = 55 kN 위치 1 mP2 = 35 kN 위치 2.5 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
w = 4 kN/mP = 25 kNADCRD​ = ?2.5 m0.5 m3 m

겔버보는 A에서 벽에 고정되어 있고, C(A에서 2.5 m)에 내부 힌지가 있으며, D(A에서 6 m)의 롤러 위에 놓여 있다. 하중은 A에서 3 m 떨어진 곳의 집중 하중 P, CD 전체의 등분포 하중 w이다. 롤러의 반력 RD을(를) 구하시오.

AC = 2.5 mAD = 6 mP = 25 kN 위치 3 mw = 4 kN/m, 2.5부터 6 m까지
RD = kN
3.트러스: 절점법보통
ABBCACACB55 kN4 m1 m4 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 4 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 55 kN
FBC = kN
4.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB15 kN30 kN5 m4 m3 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 5 m높이 = 3 mB는 A에서 4 m연직 하중 = 15 kN수평 하중 = 30 kN ←
FAB = kN
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 12 kN/mAB단면2.5 m5.5 m

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mw = 12 kN/m, 0부터 8 m까지x = 2.5 m
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 12 kN/mP = 30 kNAB단면1.5 m1 m3.5 m

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 30 kN 위치 1.5 mw = 12 kN/m, 0부터 6 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.보의 처짐보통
w = 10 kN/mδL = 3 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (강철)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.보의 처짐어려움
w = 12 kN/mδL = 6 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (강철)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1.5 md = 20 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 75 kNL = 4 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 75 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 75 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
1004001410x치수 단위: mm

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 100 mm, 두께 14 mm이고, 전체 높이는 400 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

B = 100 mmH = 400 mmtf = 14 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
170300243401412x치수 단위: mm

용접 I형 단면의 상부 플랜지는 170 × 24 mm, 웨브는 높이 340 mm, 두께 12 mm, 하부 플랜지는 300 × 14 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

상부 플랜지: 170 × 24 mm웨브: 12 × 340 mm하부 플랜지: 300 × 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.지반의 유효 응력보통
모래γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 19 kN/m³14 m지하수위Xz = 11 m

그림의 지반 단면에서 점 X의 간극 수압 u을(를) 구하시오.

z = 11 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³모래: γd = 16.5 kN/m³모래: γsat = 19 kN/m³
u = kPa
14.지반의 유효 응력어려움
모래γd​ = 15.5 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³5 m점토γsat​ = 17.5 kN/m³4 m지하수위Xz = 7 m

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 전응력 σ을(를) 구하시오.

z = 7 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³모래: γd = 15.5 kN/m³모래: γsat = 20 kN/m³점토: γsat = 17.5 kN/m³
σ = kPa
15.압밀 침하보통
Δσ = 150 kPa모래점토Cc​ = 0.5, Cr​ = 0.05e0​ = 1σ′0​ = 45 kPaOCR = 26.5 m지하수위

두께 6.5 m인 과압밀 점토층의 Cc = 0.5, Cr = 0.05, e₀ = 1이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 45 kPa 이고, 과압밀비는 OCR = 2이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 150 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 6.5 mCc = 0.5Cr = 0.05e0 = 1σ′0 = 45 kPaOCR = 2Δσ = 150 kPa
S = mm
16.압밀 침하어려움
모래점토H = 2 m2 m모래지하수위

실내 압밀 시험에서 위아래로 배수되는 두께 25 mm의 점토 시료가 15분 만에 압밀도 50%에 도달한다. 현장에서는 같은 점토가 두께 2 m인 층을 이룬다. 두 모래층 사이에 있으므로 물이 위아래로 빠져나간다. 현장의 점토층이 압밀도 50%에 도달하는 데 며칠 t이(가) 걸리는가?

hlab = 25 mmtlab = 15 minH = 2 m현장: 양면 배수
t = 일
17.정수압보통
수문d = 1.5 mH = 2 m

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.정수압어려움
수문d = 4 mH = 1 m

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 ycp을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.관 마찰과 손실 수두보통
V = 2.9 m/sD = 300 mmL = 500 mf = 0.022

물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 500 m, 안지름 300 mm인 수평 관을 2.9 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.022, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.

V = 2.9 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.관 마찰과 손실 수두어려움
K = 0.2Δz = ?L = 300 m, D = 300 mm, f = 0.0224× 엘보 (K = 0.3)

두 개방 저수지가 길이 300 m, 안지름 300 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 0.2), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 100 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?

Q = 100 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
21.개수로 흐름(매닝)보통
D = 750 mmn = 0.013, S = 0.004

안지름 750 mm인 콘크리트 우수관이 반만 차서 흐른다. 매닝 n = 0.013, 경사는 S = 0.004이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

D = 750 mmn = 0.013S = 0.004
Q = m³/s
22.개수로 흐름(매닝)어려움
D = 450 mmn = 0.013, V = 0.9 m/s

안지름 450 mm인 콘크리트 하수관(매닝 n = 0.013)이 막 만수로 흐를 때 자정 유속 0.9 m/s에 도달해야 한다. 최소 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

D = 450 mmn = 0.013V = 0.9 m/s
S = m/m
23.펌프와 펌프 동력보통
PQ = 20 L/sH = 36 m

시험에서 펌프가 양정 36 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 20 L/s 송출하고, 이때 축 동력은 8.6 kW이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율 η을(를) 퍼센트로 구하시오.

Q = 20 L/sH = 36 mPshaft = 8.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.펌프와 펌프 동력어려움
300 kPa (게이지압)PQ = 100 L/sΔz = 19 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0.025, ΣK = 8

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 100 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 19 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 100 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 300 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 100 L/sΔz = 19 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m
25.화폐의 시간 가치보통
년012345€12 000FV = ?

명목 연이율 3%, 분기 복리로 €12 000을 투자합니다. 5년 후 투자 가치 FV를 구하세요.

PV = €12 0003% / 4n = 5
FV = €
26.화폐의 시간 가치어려움
개월0123…N = ?€15 000€475€475€475€4755.4% / 12

€15 000을(를) 연 5.4%, 월 복리로 빌리고 매월 말 €475을(를) 상환한다. 대출을 다 갚는 데 몇 개월이 걸리는가(마지막 상환액은 더 적을 수 있음)? 상환 횟수 N을(를) 구하시오.

P = €15 000A = €4755.4% / 12
N = 회 상환
27.NPV와 IRR보통
년0123456€40 000€2 000€2 000€2 000€2 000€2 000€2 000r = 12%, EAC = ?

한 기계는 오늘 €40 000이(가) 들고, 6년 동안 쓸 수 있으며, 매년 €2 000의 운영비(매년 말 지급)가 든다. 자본 비용은 12%이다. 연간 등가 비용 EAC을(를) 구하시오.

C0 = €40 000M = €2 000n = 6r = 12%
EAC = €
28.NPV와 IRR어려움
년0123−20 0006 5007 5009 500

한 프로젝트는 €20 000이(가) 들고 1년 차부터 3년 차까지 매년 말 €6 500, €7 500, €9 500을(를) 돌려준다. 현금흐름은 자본 비용 6%로 재투자할 수 있다. 수정 내부 수익률 MIRR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 6 500CF2 = 7 500CF3 = 9 500
MIRR = %
29.정규분포보통
−3−2−10123z−z와 z 사이의 색칠한 넓이 = 0.7540

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.7540이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.7540
z =
30.정규분포어려움
μ = 100x = ?5%

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 5%
x = 점

3용액

1.보의 지점 반력

답: RA = 54.38 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

P1​ = 55 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​1 m1.5 m1.5 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·4 = 55·1 + 35·2.5
RB = 142.5/4 = 35.63 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 35.63 = 54.38 kN

답

RA = 54.38 kN
2.보의 지점 반력

답: RD = 10.57 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.

CD 부분

힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.

W = 4·3.5 = 14 kN 위치 1.75 m 에서 C
ΣMC = 0: RD·3.5 = 25·0.5 + 14·1.75
RD = 10.57 kN
VC = 39 − 10.57 = 28.43 kN

답

RD = 10.57 kN
3.트러스: 절점법

답: FBC = −17.19 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 → Cy = 13.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 13.75 = 41.25 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13.75/0.8 = −17.19 kN

답

FBC = −17.19 kN (압축)
4.트러스: 절점법

답: FAB = −35 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB15 kN30 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·4 − 30·3 → Cy = −6 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −6 = 21 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −21/0.6 = −35 kN

답

FAB = −35 kN (압축)
5.전단력과 휨 모멘트

답: Vx = 18 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·8·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 48RB​ = 48단면2.5 m5.5 m

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 48 − 12·2.5 = 18 kN

답

Vx = 18 kN
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 78.75 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·1.5 + 12·6·3
RB = 261/6 = 43.5 kN
ΣFy = 0: RA = 102 − 43.5 = 58.5 kN
w = 12 kN/mP = 30 kNABRA​ = 58.5RB​ = 43.5단면1.5 m1 m3.5 m

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 58.5·2.5 − 30·(2.5 − 1.5) − 12·2.5·1.25 = 78.75 kN·m

답

Mx = 78.75 kN·m
7.보의 처짐

답: δ = 42.19 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 42.19 mm

답

δ = 42.19 mm
8.보의 처짐

답: Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·6000⁴/(384·200000·16.67) = 6.075 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 27.56 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·1500 = 750 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/750² = 27561 N = 27.56 kN

답

Pcr = 27.56 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 68.58 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·75000 = 187500 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 68.58 mm

답

d = 68.58 mm

확인: 세장비 KL/r는 116.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 147.2 × 10⁶ mm⁴

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.

hw = 400 − 2·14 = 372 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (100·400³ − 90·372³)/12
Ix = 1.472 × 10⁸ mm⁴ = 147.2 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 147.2 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 306.3 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

세 개의 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

상부 플랜지: A = 4080 mm², y = 366 mm
웨브: A = 4080 mm², y = 184 mm
하부 플랜지: A = 4200 mm², y = 7 mm

도심

ȳ = (4080·366 + 4080·184 + 4200·7)/12360 = 183.9 mm

평행축 정리

상부 플랜지: 170·24³/12 + 4080·182.1² = 1.354 × 10⁸ mm⁴
웨브: 12·340³/12 + 4080·0.06796² = 3.93 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 300·14³/12 + 4200·176.9² = 1.315 × 10⁸ mm⁴
Ix = 1.354 × 10⁸ + 3.93 × 10⁷ + 1.315 × 10⁸
Ix = 3.063 × 10⁸ mm⁴ = 306.3 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 306.3 × 10⁶ mm⁴
13.지반의 유효 응력

답: u = 98.1 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γw·(지하수위 아래 깊이).

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γw·(z − zw) = 9.81·10 = 98.1 kPa

답

u = 98.1 kPa
14.지반의 유효 응력

답: σ = 126 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γw·(지하수위 아래 깊이).

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γd·2 + γsat,sand·3 + γsat,clay·2
σ = 15.5·2 + 20·3 + 17.5·2 = 126 kPa

답

σ = 126 kPa
15.압밀 침하

답: S = 594.6 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′f = σ′0 + Δσ. 정규 압밀 점토: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′p까지는 Cr을 따라 재압축되고, 그 이후에만 Cc를 따릅니다. 시간: t = Tv·Hdr²/cv이며, 배수 거리 Hdr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력

σ′p = OCR·σ′0 = 2·45 = 90 kPa

선행 압밀 압력과 비교

σ′f = 45 + 150 = 195 kPa > 90 kPa

침하량

σ′p까지는 재압축, 그 이후는 처녀 압축.

S = 0.05·6.5/(1 + 1)·log₁₀(90/45) + 0.5·6.5/(1 + 1)·log₁₀(195/90)
S = 48.92 + 545.7 = 594.6 mm

답

S = 594.6 mm
16.압밀 침하

답: t = 66.67 일

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′f = σ′0 + Δσ. 정규 압밀 점토: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′p까지는 Cr을 따라 재압축되고, 그 이후에만 Cc를 따릅니다. 시간: t = Tv·Hdr²/cv이며, 배수 거리 Hdr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

배수 거리

Hdr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m
Hdr,field = 2/2 = 1 m

시간 환산

실내와 현장에서 Tv와 cv가 같으므로 t = T_v·Hdr²/cv.

tfield = 15·(1/0.0125)² = 96000 min
tfield = 96000/1440 = 66.67 일

답

t = 66.67 일
17.정수압

답: F = 98.1 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
수문d = 1.5 mH = 2 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·4 = 98.1 kN

답

F = 98.1 kN
18.정수압

답: ycp = 4.519 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
수문d = 4 mH = 1 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4.5·3 = 166.9 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.5 + 0.25/(4.5·3) = 4.519 m

답

ycp = 4.519 m
19.관 마찰과 손실 수두

답: Δp = 154.2 kPa

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

손실 수두

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(500/0.3)·2.9²/(2·9.81) = 15.72 m

압력 강하

관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·hf가 됩니다.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·15.72 = 154183 Pa = 154.2 kPa

답

Δp = 154.2 kPa
20.관 마찰과 손실 수두

답: Δz = 2.54 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도

V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m

손실 계수

f·L/D = 0.022·300/0.3 = 22
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

전체 손실 수두

hf = 22·0.102 = 2.244 m
hm = 2.9·0.102 = 0.2958 m
Δz = hf + hm = 2.54 m

답

Δz = 2.54 m
21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 0.352 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = 0.2209 m², R = D/4 = 0.1875 m

속도

V = (1/0.013)·0.18752/3·0.0041/2 = 1.594 m/s

유량

Q = A·V = 0.2209·1.594 = 0.352 m³/s

답

Q = 0.352 m³/s
22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.002521 m/m

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

동수 반경

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.9/0.233)² = 0.002521

답

S = 0.002521

1킬로미터당 2.521 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: η = 82.13 %

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·36 = 7.063 kW

효율

η = Ph/Pshaft = 7.063/8.6 = 82.13%

답

η = 82.13%
24.펌프와 펌프 동력

답: H = 53.39 m

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

속도

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

손실 수두

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 8)·0.2115 = 3.807 m

압력 수두

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

펌프 양정

두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 19 + 30.58 + 3.807 = 53.39 m

답

H = 53.39 m
25.화폐의 시간 가치

답: FV = 13934 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = r/m = 0.03/4 = 0.0075
N = m·n = 4·5 = 20

미래 가치

FV = 12 000·(1 + 0.0075)20 = 12 000·1.161 = €13 934.21

답

FV = €13 934.21
26.화폐의 시간 가치

답: N = 35 회 상환

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

연금 공식 정리

i = 0.0045
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0.0045/475 = 0.8579

로그로 풀기

N = −ln(0.8579)/ln(1.004) = 34.14

정수 횟수로 올림

전액 상환 34회 후 작은 잔액이 남고, 마지막의 더 적은 상환으로 이를 갚습니다.

N = 35

답

N = 35 회 상환
27.NPV와 IRR

답: EAC = 11729 €

연간 등가 비용: 모든 비용의 현재 가치를 수명 동안의 같은 연간 금액(연금)으로 나눕니다: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). 수명이 다른 기계를 비교할 수 있습니다.

연금 현가 계수

(1 − 1.12−6)/0.12 = 4.111

연간화한 구입 가격

40 000/4.111 = 9 729.03

EAC

EAC = 9 729.03 + 2 000 = €11 729.03

답

EAC = €11 729.03
28.NPV와 IRR

답: MIRR = 7.366 %

수정 IRR: 모든 유입액을 재투자 수익률(보통 자본 비용)로 프로젝트 종료 시점까지 복리 계산해 최종 가치 TV를 구합니다. MIRR은 초기 투자액을 TV로 만드는 수익률입니다: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

유입액의 최종 가치

6 500·1.062 = 7 303.40
7 500·1.061 = 7 950.00
9 500·1.060 = 9 500.00
TV = 24 753.40

MIRR

MIRR = (24 753.40/20 000)1/3 − 1 = 7.366%

답

MIRR = 7.366%
29.정규분포

답: z = 1.16

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.7540)/2 = 0.8770

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.8770을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.16

답

z = 1.16
30.정규분포

답: x = 75.33 점

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 100 + −1.645·15 = 75.33 점

답

x = 75.33 점

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