FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

지반의 유효 응력

전응력: σ = Σγ_i·h_i
간극 수압: u = γ_w·(z − z_w)
유효 응력: σ′ = σ − u
물: γ_w = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
최종 응력: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
과압밀, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
과압밀비: OCR = σ′_p/σ′₀
압밀 소요 시간: t = T_v·H_dr²/c_v
배수 거리: H_dr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통

단순보(A에 힌지, B에 롤러)에 A의 6 kN/m에서 B의 0까지 선형으로 감소하는 분포 하중이 작용한다. A에서 3.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P도 작용한다. 연직 지점 반력 R_A을(를) 구하시오.

L = 6 mw₀ = 6 kN/mP = 65 kN 위치 3.5 m

R_A = kN

2.보의 지점 반력어려움

겔버보는 A에서 벽에 고정되어 있고, C(A에서 2 m)에 내부 힌지가 있으며, D(A에서 6 m)의 롤러 위에 놓여 있다. 하중은 A에서 2.5 m 떨어진 곳의 집중 하중 P 그리고 A에서 0.5 m 떨어진 곳의 집중 하중 Q이다. 벽의 반력 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

AC = 2 mAD = 6 mP = 60 kN 위치 2.5 mQ = 10 kN 위치 0.5 m

M_A = kN·m

3.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AC의 부재력 F_AC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 4 mB는 A에서 7 m연직 하중 = 35 kN

F_AC = kN

4.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 3 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 50 kN수평 하중 = 25 kN →

F_AB = kN

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mw = 5 kN/m, 0부터 6 m까지x = 2 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 7.5 mw = 10 kN/m, 0부터 7.5 m까지x = 0과 x = 5 m에 지점

M_max = kN·m

7.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 6 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 I_req을(를) 구하시오.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (구조용 목재)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

용접 I형 단면의 상부 플랜지는 190 × 10 mm, 웨브는 높이 340 mm, 두께 10 mm, 하부 플랜지는 280 × 14 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

상부 플랜지: 190 × 10 mm웨브: 10 × 340 mm하부 플랜지: 280 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.지반의 유효 응력보통

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 전응력 σ을(를) 구하시오.

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 15 kN/m³모래: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ = kPa

14.지반의 유효 응력어려움

그림의 지반 단면에서 점 X의 간극 수압 u을(를) 구하시오.

z = 9 mz_w = 5 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 16.5 kN/m³모래: γ_sat = 19.5 kN/m³점토: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.압밀 침하보통

두께 6.5 m인 과압밀 점토층의 C_c = 0.25, C_r = 0.05, e₀ = 1.05이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 100 kPa 이고, 선행 압밀 압력은 160 kPa이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 40 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 6.5 mC_c = 0.25C_r = 0.05e₀ = 1.05σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 160 kPaΔσ = 40 kPa

S = mm

16.압밀 침하어려움

실내 압밀 시험에서 위아래로 배수되는 두께 19 mm의 점토 시료가 10분 만에 압밀도 50%에 도달한다. 현장에서는 같은 점토가 두께 4.5 m인 층을 이룬다. 아래는 불투수성 암반, 위는 모래이므로 물이 위로만 빠져나간다. 현장의 점토층이 압밀도 50%에 도달하는 데 며칠 t이(가) 걸리는가?

h_lab = 19 mmt_lab = 10 minH = 4.5 m현장: 일면 배수

t = 일

17.정수압보통

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.정수압어려움

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 400 m, 안지름 100 mm인 관을 15 L/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.025, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

Q = 15 L/sL = 400 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.관 마찰과 손실 수두어려움

길이 200 m, 안지름 300 mm(다르시 마찰 계수 f = 0.018)인 관이 개방 저수지에서 나와 대기 중으로 자유 분류로 유출된다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 2)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 150 L/s를 얻으려면 저수지 수면이 관 출구보다 얼마나 높아야 하는가(H)?

Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.개수로 흐름(매닝)보통

사다리꼴 벽돌 쌓기 수로의 바닥 폭은 1.5 m, 측면 경사는 1.5:1(수평:연직)이다. 물이 수심 2.5 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.015, 수로 바닥 경사는 S = 0.004이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 1.5 my = 2.5 mz = 1.5n = 0.015S = 0.004

Q = m³/s

22.개수로 흐름(매닝)어려움

폭 5 m인 직사각형 마감하지 않은 콘크리트 수로가 수심 0.5 m의 등류로 7 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.014. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 7 m³/sb = 5 my = 0.5 mn = 0.014

S = m/m

23.펌프와 펌프 동력보통

시험에서 펌프가 양정 22 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 30 L/s 송출하고, 이때 축 동력은 9.2 kW이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율 η을(를) 퍼센트로 구하시오.

Q = 30 L/sH = 22 mP_shaft = 9.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 15 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 6 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 150 m, 안지름 100 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 5(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 78%이다. 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 15 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 5η = 78%

P_shaft = kW

25.화폐의 시간 가치보통

한 부동산은 내년에 순임대료 €20 000을(를) 벌 것으로 예상된다. 임대료는 매년 1%씩 영구히 증가할 것으로 예상된다. 요구 수익률은 연 6%이다. 이 부동산의 오늘 가치 PV을(를) 구하시오.

C₁ = €20 000g = 1%r = 6%

PV = €

26.화폐의 시간 가치어려움

9년 동안 매달 말에 €200을 저축합니다. 계좌 이율은 연 2.4%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €2002.4% / 12N = 108

FV = €

27.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €40 000이(가) 든다. 4년 동안 매년 말 €11 000을(를) 창출하고, 그 후 €4 000에 팔 수 있다. 자본 비용은 6%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €40 000CF = €11 000S = €4 000n = 4r = 6%

NPV = €

28.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €50 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €19 000, €37 000, €26 000을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −50 000CF₁ = 19 000CF₂ = 37 000CF₃ = 26 000

IRR = %

29.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.6047이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.6047

z =

30.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

3용액

1.보의 지점 반력

답: R_A = 39.08 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

삼각형 하중의 합력

W = ½·6·6 = 18 kN

x̄ = L/3 = 2 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 18·2 + 65·3.5

R_B = 43.92 kN

R_A = 83 − 43.92 = 39.08 kN

답

R_A = 39.08 kN

2.보의 지점 반력

답: M_A = 110 kN·m

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.

CD 부분

힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 60·0.5

R_D = 7.5 kN

V_C = 60 − 7.5 = 52.5 kN

AC 부분

힌지력 V_C는 AC에 아래로 작용합니다(CD에 대한 작용과 크기가 같고 방향이 반대).

R_A = 10 + 52.5 = 62.5 kN

M_A = 10·0.5 + 52.5·2 = 110 kN·m

답

M_A = 110 kN·m

3.트러스: 절점법

답: F_AC = 7.656 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·7 → C_y = 30.63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 30.63 = 4.375 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30.63/0.9701 = −31.57 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−31.57)·0.2425 = 7.656 kN

답

F_AC = 7.656 kN (인장)

4.트러스: 절점법

답: F_AB = −18.22 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·5 + 25·3 → C_y = 40.63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 40.63 = 9.375 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/5.831 = 0.5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9.375/0.5145 = −18.22 kN

답

F_AB = −18.22 kN (압축)

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 20 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 15·2 − 5·2·1 = 20 kN·m

답

M_x = 20 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 17.58 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·7.5 = 75 kN, 작용점 x̄ = 3.75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·7.5·3.75

R_B = 281.3/5 = 56.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 56.25 = 18.75 kN

전단력 0

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 18.75/10 = 1.875 m

최대 정모멘트

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 18.75²/(2·10) = 17.58 kN·m

답

M_max = 17.58 kN·m

7.보의 처짐

답: δ_max = 2.996 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·1500⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 2.996 mm

답

δ_max = 2.996 mm

8.보의 처짐

답: I_req = 545.5 × 10⁶ mm⁴

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·4000⁴/(384·11000·11.11) = 5.455 × 10⁸ mm⁴

I_req = 545.5 × 10⁶ mm⁴

답

I_req = 545.5 × 10⁶ mm⁴

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 4.386 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·6000 = 12000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/12000² = 4386 N = 4.386 kN

답

P_cr = 4.386 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 4.441 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666.7

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa

답

σ_cr = 4.441 MPa

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 36.7 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252.5 mm

웨브: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·252.5 + 2400·120)/5900 = 198.6 mm

평행축 정리

플랜지: 140·25³/12 + 3500·(252.5 − 198.6)² = 1.035 × 10⁷ mm⁴

웨브: 10·240³/12 + 2400·(120 − 198.6)² = 2.635 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.035 × 10⁷ + 2.635 × 10⁷ = 3.67 × 10⁷ mm⁴ = 36.7 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 36.7 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 199.7 × 10⁶ mm⁴

세 개의 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

상부 플랜지: A = 1900 mm², y = 359 mm

웨브: A = 3400 mm², y = 184 mm

하부 플랜지: A = 3920 mm², y = 7 mm

도심

ȳ = (1900·359 + 3400·184 + 3920·7)/9220 = 144.8 mm

평행축 정리

상부 플랜지: 190·10³/12 + 1900·214.2² = 8.718 × 10⁷ mm⁴

웨브: 10·340³/12 + 3400·39.19² = 3.798 × 10⁷ mm⁴

하부 플랜지: 280·14³/12 + 3920·137.8² = 7.451 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.718 × 10⁷ + 3.798 × 10⁷ + 7.451 × 10⁷

I_x = 1.997 × 10⁸ mm⁴ = 199.7 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 199.7 × 10⁶ mm⁴

13.지반의 유효 응력

답: σ = 82 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γ_w·(지하수위 아래 깊이).

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·3 + 18.5·2 = 82 kPa

답

σ = 82 kPa

14.지반의 유효 응력

답: u = 39.24 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

답

u = 39.24 kPa

15.압밀 침하

답: S = 23.17 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′_f = σ′₀ + Δσ. 정규 압밀 점토: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′_p까지는 C_r을 따라 재압축되고, 그 이후에만 C_c를 따릅니다. 시간: t = T_v·H_dr²/c_v이며, 배수 거리 H_dr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력과 비교

σ′_f = 100 + 40 = 140 kPa ≤ 160 kPa

침하량

점토는 재압축 곡선 위에 머뭅니다.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·6.5/(1 + 1.05)·log₁₀(140/100) = 23.17 mm

답

S = 23.17 mm

16.압밀 침하

답: t = 1558 일

배수 거리

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 4.5 m

시간 환산

실내와 현장에서 T_v와 c_v가 같으므로 t = T_v·H_dr²/c_v.

t_field = 10·(4.5/0.0095)² = 2.244 × 10⁶ min

t_field = 2.244 × 10⁶/1440 = 1558 일

답

t = 1558 일

17.정수압

답: F = 161.9 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·3 = 161.9 kN

답

F = 161.9 kN

18.정수압

답: F = 111.2 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3·3 = 111.2 kN

답

F = 111.2 kN

19.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 18.59 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

평균 유속

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

속도 수두

V²/(2g) = 1.91²/(2·9.81) = 0.1859 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(400/0.1)·1.91²/(2·9.81) = 18.59 m

답

h_f = 18.59 m

20.관 마찰과 손실 수두

답: H = 3.764 m

속도

V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s

V²/(2g) = 0.2295 m

손실 계수

f·L/D = 0.018·200/0.3 = 12

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

에너지 방정식

출구 분류는 여전히 속도 수두를 가지고 있습니다. 손실은 아니지만 공급되어야 합니다.

H = (1 + 12 + 3.4)·0.2295 = 3.764 m

답

H = 3.764 m

21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 64.16 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1.5·2.5)·2.5 = 13.13 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·2.5·√(1 + 1.5²) = 10.51 m

R = A/P = 1.248 m

속도

V = (1/0.015)·1.248^2/3·0.004^1/2 = 4.888 m/s

유량

Q = A·V = 13.13·4.888 = 64.16 m³/s

답

Q = 64.16 m³/s

22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.004938 m/m

단면 형상

A = b·y = 5·0.5 = 2.5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·0.5 = 6 m

R = A/P = 0.4167 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·7/(2.5·0.5579) = 0.07027

S = 0.07027² = 0.004938

답

S = 0.004938

1킬로미터당 4.938 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: η = 70.38 %

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·22 = 6.475 kW

효율

η = P_h/P_shaft = 6.475/9.2 = 70.38%

답

η = 70.38%

24.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 2.465 kW

속도

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 5)·0.1859 = 7.065 m

펌프 양정

H = Δz + h_L = 6 + 7.065 = 13.06 m

축동력

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.015·13.06/0.78 = 2.465 kW

답

P_shaft = 2.465 kW

25.화폐의 시간 가치

답: PV = 400000 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

성장형 영구 연금

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.06 − 0.01) = 20 000/0.05 = €400 000.00

답

PV = €400 000.00

26.화폐의 시간 가치

답: FV = 24083 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·9 = 108

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1.241 − 1)/0.002 = €24 083.47

답

FV = €24 083.47

직접 넣은 돈은 €21 600이고 나머지는 이자입니다.

27.NPV와 IRR

답: NPV = 1285 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

연간 현금흐름의 현재 가치

11 000·3.465 = 38 116.16

잔존 가치의 현재 가치

4 000/1.262 = 3 168.37

NPV

NPV = −40 000 + 38 116.16 + 3 168.37 = €1 284.54

답

NPV = €1 284.54

28.NPV와 IRR

답: IRR = 27.77 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(25%) = 2 192.00

NPV(30%) = −1 656.80

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 25 + 5·2 192.00/(2 192.00 − (−1 656.80)) = 27.85%

정확한 값: NPV(27.77%) = 0 → IRR = 27.77%

답

IRR = 27.77%

29.정규분포

답: z = 0.85

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.6047)/2 = 0.8023

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.8023을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.85

답

z = 0.85

30.정규분포

답: x = 434.2 h

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h

답

x = 434.2 h

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