FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

지반의 유효 응력

전응력
σ = Σγi·hi
간극 수압
u = γw·(z − zw)
유효 응력
σ′ = σ − u
물
γw = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
최종 응력
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
과압밀, σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
과압밀비
OCR = σ′p/σ′0
압밀 소요 시간
t = Tv·Hdr²/cv
배수 거리
Hdr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력
p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘
F = ρg·hc·A
압력 중심
yp = yc + Ic/(ycA)
직사각형
Ic = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역
Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속
V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실
hm = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값
입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하
Δp = ρ·g·hf
두 개의 개방 저수지
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식
V = (1/n)·R2/3·S1/2
유량
Q = A·V
동수 반경
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형
A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수
R = D/4
필요 경사
S = (n·Q/(A·R2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력
Pshaft = Ph/ηpump
전기 입력 동력
Pel = Pshaft/ηmotor
펌프 양정
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
시스템 손실
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치
FV = PV·(1 + i)n
현재 가치
PV = FV/(1 + i)n
연간 여러 기간
i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
연금의 미래 가치
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

방법

  1. 모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
  2. 이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
  3. 단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
  4. 답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
균등 현금 흐름
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
내부수익률
NPV = 0이 되는 r
의사 결정
NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

  1. 모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
  2. 각 현금흐름을 할인하세요: CFt/(1 + r)t.
  3. 모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
  4. IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수
z = (x − μ)/σ
x 미만
P(X < x) = Φ(z)
x 초과
P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이
Φ(z2) − Φ(z1)
백분위수
x = μ + z·σ

방법

  1. 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
  2. z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
  3. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
  4. 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?1 m4 m1 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 6 mP1 = 60 kN 위치 1 mP2 = 45 kN 위치 5 m
RB = kN
2.보의 지점 반력어려움
w = 2 kN/mP = 40 kNABRA​RB​ = ?5 m3 m1 m1 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 10 mP = 40 kN 위치 8 mw = 2 kN/m, 5부터 9 m까지
RB = kN
3.트러스: 절점법보통
ABBCACACB35 kN8 m2 m3 m

절점법으로 부재 AC의 부재력 FAC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 3 mB는 A에서 2 m연직 하중 = 35 kN
FAC = kN
4.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB40 kN15 kN6 m5 m3 m

절점법으로 부재 AC의 부재력 FAC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 3 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 40 kN수평 하중 = 15 kN →
FAC = kN
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 12 kN/mAB단면4.5 m5.5 m

지점 A에서 x = 4.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mw = 12 kN/m, 0부터 10 m까지x = 4.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 10 kN/mP = 50 kNAB단면1.5 m4.5 m

지점 A에서 x = 1.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 50 kN 위치 1.5 mw = 10 kN/m, 0부터 6 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
7.보의 처짐보통
w = 10 kN/mδL = 2.5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.보의 처짐어려움
w = 1.5 kN/mABδ5 m

폭 75 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.

w = 1.5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 75 mm
hreq = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 2 md = 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 65 kNL = 4 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 65 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 65 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
2803028016x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
160250202701812x치수 단위: mm

용접 I형 단면의 상부 플랜지는 160 × 20 mm, 웨브는 높이 270 mm, 두께 12 mm, 하부 플랜지는 250 × 18 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

상부 플랜지: 160 × 20 mm웨브: 12 × 270 mm하부 플랜지: 250 × 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.지반의 유효 응력보통
모래γd​ = 15 kN/m³γsat​ = 20.5 kN/m³10 m지하수위Xz = 5 m

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 전응력 σ을(를) 구하시오.

z = 5 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³모래: γd = 15 kN/m³모래: γsat = 20.5 kN/m³
σ = kPa
14.지반의 유효 응력어려움
모래γd​ = 17 kN/m³γsat​ = 19.5 kN/m³3 m점토γsat​ = 18.5 kN/m³7 m지하수위Xz = 6.5 m

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 유효 응력 σ′을(를) 구하시오.

z = 6.5 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³모래: γd = 17 kN/m³모래: γsat = 19.5 kN/m³점토: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.압밀 침하보통
Δσ = 150 kPa모래점토Cc​ = 0.2, Cr​ = 0.04e0​ = 0.9σ′0​ = 85 kPaσ′p​ = 185 kPa6.5 m지하수위

두께 6.5 m인 과압밀 점토층의 Cc = 0.2, Cr = 0.04, e₀ = 0.9이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 85 kPa 이고, 선행 압밀 압력은 185 kPa이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 150 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 6.5 mCc = 0.2Cr = 0.04e0 = 0.9σ′0 = 85 kPaσ′p = 185 kPaΔσ = 150 kPa
S = mm
16.압밀 침하어려움
모래점토H = 2.5 mcv​ = 4 m²/연도2.5 m불투수성 암반지하수위

두께 2.5 m인 점토층의 압밀 계수는 cv = 4 m²/year이다. 아래는 불투수성 암반, 위는 모래이므로 물이 위로만 빠져나간다. 평균 압밀도 70%에 대한 시간 계수는 Tv = 0.403이다. 이 층이 압밀도 70%에 도달하는 데 몇 년 t이(가) 걸리는가?

H = 2.5 mcv = 4 m²/연도U = 70%Tv = 0.403일면 배수
t = 년
17.정수압보통
수문d = 2 mH = 1.5 m

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.정수압어려움
수문d = 1 mH = 3 m

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.관 마찰과 손실 수두보통
V = 1.7 m/sD = 100 mmL = 500 mf = 0.03

물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 500 m, 안지름 100 mm인 수평 관을 1.7 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.03, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.

V = 1.7 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.관 마찰과 손실 수두어려움
K = 0.2자유 유출구H = ?L = 100 m, D = 200 mm, f = 0.0182× 엘보 (K = 0.3)

길이 100 m, 안지름 200 mm(다르시 마찰 계수 f = 0.018)인 관이 개방 저수지에서 나와 대기 중으로 자유 분류로 유출된다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 2개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 0.2)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 100 L/s를 얻으려면 저수지 수면이 관 출구보다 얼마나 높아야 하는가(H)?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 0.2
H = m
21.개수로 흐름(매닝)보통
b = 1 my = 1.8 mn = 0.03, S = 0.004

직사각형 풀로 덮인 흙 수로의 폭은 1 m이다. 물이 수심 1.8 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.03, 수로 바닥 경사는 S = 0.004이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 1 my = 1.8 mn = 0.03S = 0.004
Q = m³/s
22.개수로 흐름(매닝)어려움
b = 2.5 my = 2.2 m2 : 1n = 0.022, Q = 25 m³/s

바닥 폭 2.5 m, 측면 경사 2:1(수평:연직)인 사다리꼴 깨끗한 흙 수로가 수심 2.2 m의 등류로 25 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.022. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 25 m³/sb = 2.5 my = 2.2 mz = 2n = 0.022
S = m/m
23.펌프와 펌프 동력보통
PQ = 100 L/sH = 62 m

시험에서 펌프가 양정 62 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 100 L/s 송출하고, 이때 축 동력은 101.4 kW이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율 η을(를) 퍼센트로 구하시오.

Q = 100 L/sH = 62 mPshaft = 101.4 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.펌프와 펌프 동력어려움
PQ = 40 L/sΔz = 8 mL = 100 m, D = 200 mm, f = 0.022, ΣK = 6

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 40 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 8 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 100 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 6(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 65%이다. 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 40 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 6η = 65%
Pshaft = kW
25.화폐의 시간 가치보통
년012€20 000FV = ?

명목 연이율 4.8%, 월 복리로 €20 000을 투자합니다. 2년 후 투자 가치 FV를 구하세요.

PV = €20 0004.8% / 12n = 2
FV = €
26.화폐의 시간 가치어려움
개월0123…252€50€50€50FV = ?

21년 동안 매달 말에 €50을 저축합니다. 계좌 이율은 연 3.6%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €503.6% / 12N = 252
FV = €
27.NPV와 IRR보통
년01234−20 0007 00010 0008 0008 000

€20 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €7 000, €10 000, €8 000, €8 000. 자본 비용은 15%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 15%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 10 000CF3 = 8 000CF4 = 8 000
NPV = €
28.NPV와 IRR어려움
년0123−10 0004 5004 0005 500

한 프로젝트는 €10 000이(가) 들고 1년 차부터 3년 차까지 매년 말 €4 500, €4 000, €5 500을(를) 돌려준다. 현금흐름은 자본 비용 12%로 재투자할 수 있다. 수정 내부 수익률 MIRR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 12%CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 4 000CF3 = 5 500
MIRR = %
29.정규분포보통
30.233.5P = ?

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 30.2에서 33.5 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 32σ = 6x1 = 30.2x2 = 33.5
P =
30.정규분포어려움
380420460500540580620h아래 25%

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 25%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 500 hσ = 40 h25%
x = h

3용액

1.보의 지점 반력

답: RB = 47.5 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1 m4 m1 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·1 + 45·5
RB = 285/6 = 47.5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 47.5 = 57.5 kN

답

RB = 47.5 kN
2.보의 지점 반력

답: RB = 37.6 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

w = 2 kN/mP = 40 kNABRA​RB​5 m3 m1 m1 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, 작용점 x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·8 + 2·4·7
RB = 376/10 = 37.6 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 37.6 = 10.4 kN

답

RB = 37.6 kN
3.트러스: 절점법

답: FAC = 17.5 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·2 → Cy = 8.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 8.75 = 26.25 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/6.708 = 0.4472, cos γ = 6/6.708 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.75/0.4472 = −19.57 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−19.57)·0.8944 = 17.5 kN

답

FAC = 17.5 kN (인장)
4.트러스: 절점법

답: FAC = 13.61 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB40 kN15 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·5 + 15·3 → Cy = 40.83 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 40.83 = −0.8333 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −40.83/0.9487 = −43.04 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−43.04)·0.3162 = 13.61 kN

답

FAC = 13.61 kN (인장)
5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 148.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60단면4.5 m5.5 m

x = 4.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 60·4.5 − 12·4.5·2.25 = 148.5 kN·m

답

Mx = 148.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 90 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·1.5 + 10·6·3
RB = 255/6 = 42.5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 42.5 = 67.5 kN
w = 10 kN/mP = 50 kNABRA​ = 67.5RB​ = 42.5단면1.5 m4.5 m

x = 1.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 67.5·1.5 − 10·1.5·0.75 = 90 kN·m

답

Mx = 90 kN·m
7.보의 처짐

답: δmax = 20.1 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 20.1 mm

답

δmax = 20.1 mm
8.보의 처짐

답: hreq = 207.1 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 1.5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

필요한 단면 2차 모멘트

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·5000⁴/(384·11000·20) = 5.549 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = Ireq → h = (12·5.549 × 10⁷/75)1/3 = 207.1 mm

답

hreq = 207.1 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 224.2 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1400² = 224242 N = 224.2 kN

답

Pcr = 224.2 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 66.17 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·65000 = 162500 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 66.17 mm

답

d = 66.17 mm

확인: 세장비 KL/r는 120.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 100.1 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
웨브: Aw = 16·280 = 4480 mm², yw = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·295 + 4480·140)/12880 = 241.1 mm

평행축 정리

플랜지: 280·30³/12 + 8400·(295 − 241.1)² = 2.505 × 10⁷ mm⁴
웨브: 16·280³/12 + 4480·(140 − 241.1)² = 7.505 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.505 × 10⁷ + 7.505 × 10⁷ = 1.001 × 10⁸ mm⁴ = 100.1 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 100.1 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 177.4 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

세 개의 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

상부 플랜지: A = 3200 mm², y = 298 mm
웨브: A = 3240 mm², y = 153 mm
하부 플랜지: A = 4500 mm², y = 9 mm

도심

ȳ = (3200·298 + 3240·153 + 4500·9)/10940 = 136.2 mm

평행축 정리

상부 플랜지: 160·20³/12 + 3200·161.8² = 8.39 × 10⁷ mm⁴
웨브: 12·270³/12 + 3240·16.82² = 2.06 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 250·18³/12 + 4500·127.2² = 7.291 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.39 × 10⁷ + 2.06 × 10⁷ + 7.291 × 10⁷
Ix = 1.774 × 10⁸ mm⁴ = 177.4 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 177.4 × 10⁶ mm⁴
13.지반의 유효 응력

답: σ = 86 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γw·(지하수위 아래 깊이).

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15·3 + 20.5·2 = 86 kPa

답

σ = 86 kPa
14.지반의 유효 응력

답: σ′ = 74.1 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γw·(지하수위 아래 깊이).

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·3.5
σ = 17·2 + 19.5·1 + 18.5·3.5 = 118.3 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γw·(z − zw) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa

유효 응력

σ′ = σ − u = 118.3 − 44.15 = 74.1 kPa

답

σ′ = 74.1 kPa
15.압밀 침하

답: S = 117.3 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′f = σ′0 + Δσ. 정규 압밀 점토: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′p까지는 Cr을 따라 재압축되고, 그 이후에만 Cc를 따릅니다. 시간: t = Tv·Hdr²/cv이며, 배수 거리 Hdr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력과 비교

σ′f = 85 + 150 = 235 kPa > 185 kPa

침하량

σ′p까지는 재압축, 그 이후는 처녀 압축.

S = 0.04·6.5/(1 + 0.9)·log₁₀(185/85) + 0.2·6.5/(1 + 0.9)·log₁₀(235/185)
S = 46.22 + 71.09 = 117.3 mm

답

S = 117.3 mm
16.압밀 침하

답: t = 0.6297 년

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′f = σ′0 + Δσ. 정규 압밀 점토: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′p까지는 Cr을 따라 재압축되고, 그 이후에만 Cc를 따릅니다. 시간: t = Tv·Hdr²/cv이며, 배수 거리 Hdr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

배수 거리

Hdr = H = 2.5 m

시간

t = Tv·Hdr²/cv = 0.403·2.5²/4 = 0.6297 년

답

t = 0.6297 년
17.정수압

답: F = 121.4 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
수문d = 2 mH = 1.5 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·4.5 = 121.4 kN

답

F = 121.4 kN
18.정수압

답: F = 129.5 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
수문d = 1 mH = 3 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2.5·6 = 129.5 kN

답

F = 129.5 kN
19.관 마찰과 손실 수두

답: Δp = 216.7 kPa

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

손실 수두

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(500/0.1)·1.7²/(2·9.81) = 22.09 m

압력 강하

관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·hf가 됩니다.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·22.09 = 216750 Pa = 216.7 kPa

답

Δp = 216.7 kPa
20.관 마찰과 손실 수두

답: H = 5.836 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도

V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s
V²/(2g) = 0.5164 m

손실 계수

f·L/D = 0.018·100/0.2 = 9
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 = 1.3

에너지 방정식

출구 분류는 여전히 속도 수두를 가지고 있습니다. 손실은 아니지만 공급되어야 합니다.

H = (1 + 9 + 1.3)·0.5164 = 5.836 m

답

H = 5.836 m
21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 2.03 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = b·y = 1·1.8 = 1.8 m²
P = b + 2y = 1 + 2·1.8 = 4.6 m
R = A/P = 0.3913 m

속도

V = (1/0.03)·0.39132/3·0.0041/2 = 1.128 m/s

유량

Q = A·V = 1.8·1.128 = 2.03 m³/s

답

Q = 2.03 m³/s
22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.0009958 m/m

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 2·2.2)·2.2 = 15.18 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·2.2·√(1 + 2²) = 12.34 m
R = A/P = 1.23 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.022·25/(15.18·1.148) = 0.03156
S = 0.03156² = 0.0009958

답

S = 0.0009958

1킬로미터당 0.9958 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: η = 59.98 %

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·62 = 60.82 kW

효율

η = Ph/Pshaft = 60.82/101.4 = 59.98%

답

η = 59.98%
24.펌프와 펌프 동력

답: Pshaft = 5.678 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

속도

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s
V²/(2g) = 0.08263 m

손실 수두

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 6)·0.08263 = 1.405 m

펌프 양정

H = Δz + hL = 8 + 1.405 = 9.405 m

축동력

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·9.405/0.65 = 5.678 kW

답

Pshaft = 5.678 kW
25.화폐의 시간 가치

답: FV = 22011 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = r/m = 0.048/12 = 0.004
N = m·n = 12·2 = 24

미래 가치

FV = 20 000·(1 + 0.004)24 = 20 000·1.101 = €22 010.97

답

FV = €22 010.97
26.화폐의 시간 가치

답: FV = 18789 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)n으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

월 이율과 적립 횟수

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·21 = 252

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(2.127 − 1)/0.003 = €18 788.85

답

FV = €18 788.85

직접 넣은 돈은 €12 600이고 나머지는 이자입니다.

27.NPV와 IRR

답: NPV = 3483 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 7 000/1.15 = 6 086.96
CF2/(1 + 0.15)2 = 10 000/1.322 = 7 561.44
CF3/(1 + 0.15)3 = 8 000/1.521 = 5 260.13
CF4/(1 + 0.15)4 = 8 000/1.749 = 4 574.03

더하기

NPV = €3 482.55

답

NPV = €3 482.55

NPV가 양수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 많이 법니다.

28.NPV와 IRR

답: MIRR = 16.04 %

수정 IRR: 모든 유입액을 재투자 수익률(보통 자본 비용)로 프로젝트 종료 시점까지 복리 계산해 최종 가치 TV를 구합니다. MIRR은 초기 투자액을 TV로 만드는 수익률입니다: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

유입액의 최종 가치

4 500·1.122 = 5 644.80
4 000·1.121 = 4 480.00
5 500·1.120 = 5 500.00
TV = 15 624.80

MIRR

MIRR = (15 624.80/10 000)1/3 − 1 = 16.04%

답

MIRR = 16.04%
29.정규분포

답: P = 0.2166

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (30.2 − 32)/6 = −0.3
z₂ = (33.5 − 32)/6 = 0.25

사이의 넓이

P = Φ(0.25) − Φ(−0.3) = 0.5987 − 0.3821 = 0.2166

답

P = 0.2166
30.정규분포

답: x = 473 h

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.25

표에서 구한 z

z ≈ −0.67

원래 단위로 되돌리기

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

답

x = 473 h

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