FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

지반의 유효 응력

전응력: σ = Σγ_i·h_i
간극 수압: u = γ_w·(z − z_w)
유효 응력: σ′ = σ − u
물: γ_w = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
최종 응력: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
과압밀, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
과압밀비: OCR = σ′_p/σ′₀
압밀 소요 시간: t = T_v·H_dr²/c_v
배수 거리: H_dr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통

단순보(A에 힌지, B에 롤러)에 A의 15 kN/m에서 B의 0까지 선형으로 감소하는 분포 하중이 작용한다. 연직 지점 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 4 mw₀ = 15 kN/m

R_B = kN

2.보의 지점 반력어려움

보는 A에 힌지, A에서 4 m 떨어진 B에 롤러가 있고, B에서 자유단 C까지 내밀어져 있다. A에서 3.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가, 4 m에서 5 m의 자유단까지 등분포 하중 w가 작용한다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 R_A을(를) 구하시오.

AB = 4 mAC = 5 mP = 25 kN 위치 3.5 mw = 8 kN/m, 4부터 5 m까지

R_A = kN

3.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AC의 부재력 F_AC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 4 mB는 A에서 4 m연직 하중 = 40 kN

F_AC = kN

4.트러스: 절점법어려움

이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.

C: 20 kN ↓D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓F: 20 kN →G: 10 kN ↓H: 20 kN ↓

1부재 AB
2부재 BC
3부재 CD
4부재 DE
5부재 FG
6부재 GH
7부재 AF
8부재 HE
9부재 BF
10부재 CG
11부재 DH
12부재 FC
13부재 HC

5.전단력과 휨 모멘트보통

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P₁, C에 집중 하중 P₂이 작용한다. 지점 B 바로 왼쪽의 전단력 V_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 7 mP₁ = 60 kN 위치 2.5 mP₂ = 30 kN 위치 7 mx = 0과 x = 5 m에 지점

V_x = kN

6.전단력과 휨 모멘트어려움

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

55 kN @ 12 m30 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.보의 처짐어려움

단순보의 지점 B에서 b = 1 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 경간 중앙의 처짐 δ_mid을(를) 구하시오.

P = 29 kNb = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmM = 5 kN·m

σ_아래 = MPa

13.지반의 유효 응력보통

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 유효 응력 σ′을(를) 구하시오.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 16 kN/m³모래: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.지반의 유효 응력어려움

그림의 지반 단면에서 점 X의 간극 수압 u을(를) 구하시오.

z = 6.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 15.5 kN/m³모래: γ_sat = 19 kN/m³점토: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.압밀 침하보통

두께 5 m인 과압밀 점토층의 C_c = 0.4, C_r = 0.02, e₀ = 0.75이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 120 kPa 이고, 선행 압밀 압력은 240 kPa이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 15 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 5 mC_c = 0.4C_r = 0.02e₀ = 0.75σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 240 kPaΔσ = 15 kPa

S = mm

16.압밀 침하어려움

두께 4 m인 점토층의 압밀 계수는 c_v = 1.5 m²/year이다. 아래는 불투수성 암반, 위는 모래이므로 물이 위로만 빠져나간다. 평균 압밀도 50%에 대한 시간 계수는 T_v = 0.197이다. 이 층이 압밀도 50%에 도달하는 데 몇 년 t이(가) 걸리는가?

H = 4 mc_v = 1.5 m²/연도U = 50%T_v = 0.197일면 배수

t = 년

17.정수압보통

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.정수압어려움

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 바닷물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 1000 m, 안지름 50 mm인 관을 3 L/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.028, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

Q = 3 L/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 600 m, 안지름 300 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015인 관으로 연결되어 있다. 위 저수지의 수면은 아래 저수지 수면보다 22 m 높다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 Q을(를) L/s 단위로 구하시오.

Δz = 22 mL = 600 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.개수로 흐름(매닝)보통

사다리꼴 벽돌 쌓기 수로의 바닥 폭은 2.5 m, 측면 경사는 1.5:1(수평:연직)이다. 물이 수심 1.6 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.015, 수로 바닥 경사는 S = 0.0008이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 2.5 my = 1.6 mz = 1.5n = 0.015S = 0.0008

Q = m³/s

22.개수로 흐름(매닝)어려움

바닥 폭 3.5 m, 측면 경사 1.5:1(수평:연직)인 사다리꼴 벽돌 쌓기 수로가 수심 1.2 m의 등류로 14 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.015. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 14 m³/sb = 3.5 my = 1.2 mz = 1.5n = 0.015

S = m/m

23.펌프와 펌프 동력보통

펌프가 양정 40 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 50 L/s 송출한다. 펌프 효율은 75%이고, 펌프를 구동하는 전동기의 효율은 90%이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 전동기가 소비하는 전력 P_el을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 50 L/sH = 40 mη_pump = 75%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 120 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 5 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 600 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 5(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 65%이다. 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 120 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 5η = 65%

P_shaft = kW

25.화폐의 시간 가치보통

명목 연이율 3.6%, 월 복리로 €5 000을 투자합니다. 9년 후 투자 가치 FV를 구하세요.

PV = €5 0003.6% / 12n = 9

FV = €

26.화폐의 시간 가치어려움

23년 동안 매달 말에 €300을 저축합니다. 계좌 이율은 연 6%, 월 복리입니다. 마지막에 얼마가 모일까요? FV를 구하세요.

A = €3006% / 12N = 276

FV = €

27.NPV와 IRR보통

€75 000을 투자하면 1년 차부터 3년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €28 000, €29 000, €33 000. 자본 비용은 12%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 28 000CF₂ = 29 000CF₃ = 33 000

NPV = €

28.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €50 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €34 500, €32 500, €25 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −50 000CF₁ = 34 500CF₂ = 32 500CF₃ = 25 500

IRR = %

29.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.9722이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.9722

z =

30.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3용액

1.보의 지점 반력

답: R_B = 10 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

삼각형 하중의 합력

W = ½·15·4 = 30 kN

x̄ = L/3 = 1.333 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1.333

R_B = 10 kN

R_A = 30 − 10 = 20 kN

답

R_B = 10 kN

2.보의 지점 반력

답: R_A = 2.125 kN

분포 하중의 합력

W = 8·1 = 8 kN, x̄ = (4 + 5)/2 = 4.5 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·3.5 + 8·4.5

R_B = 123.5/4 = 30.88 kN

R_A = 33 − 30.88 = 2.125 kN

답

R_A = 2.125 kN

3.트러스: 절점법

답: F_AC = 13.33 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·4 → C_y = 26.67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 26.67 = 13.33 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26.67/0.8944 = −29.81 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−29.81)·0.4472 = 13.33 kN

답

F_AC = 13.33 kN (인장)

4.트러스: 절점법

답: 부재 BF

영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.

절점 B

AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

절점법으로 확인하기

모든 절점을 풀면 다음 부재력이 나옵니다(T = 인장, C = 압축).

AB: 60 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 56.57 kN (C), HE: 70.71 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 14.14 kN (T), HC: 28.28 kN (T)

답

영력 부재: BF

5.전단력과 휨 모멘트

답: V_x = −42 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2.5 + 30·7

R_B = 360/5 = 72 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 72 = 18 kN

B 바로 왼쪽에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다

V_x = R_A − P₁ = 18 − 60 = −42 kN

답

V_x = −42 kN

6.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 10 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 13 kN, R₂ = 72 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 26, M_C = −8, M_D = −42, M_E = −76, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

답

표시점 F: M_F = −110 kN·m

7.보의 처짐

답: δ = 1.37 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·9.24 × 10¹¹) = 1.37 mm

답

δ = 1.37 mm

8.보의 처짐

답: δ_mid = 8.727 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 29000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

경간 중앙의 처짐

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 29000·1000·(3·6000² − 4·1000²)/(48·7.2 × 10¹²) = 8.727 mm

답

δ_mid = 8.727 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 77.11 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·2000 = 4000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/4000² = 77106 N = 77.11 kN

답

P_cr = 77.11 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 53.77 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 53.77 mm

답

d = 53.77 mm

확인: 세장비 KL/r는 223.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 4.494 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112.5 mm

웨브: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·112.5 + 1000·50)/7000 = 103.6 mm

평행축 정리

플랜지: 240·25³/12 + 6000·(112.5 − 103.6)² = 790816 mm⁴

웨브: 10·100³/12 + 1000·(50 − 103.6)² = 3.703 × 10⁶ mm⁴

I_x = 790816 + 3.703 × 10⁶ = 4.494 × 10⁶ mm⁴ = 4.494 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 4.494 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 19.71 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

웨브: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·290 + 2800·140)/8800 = 242.3 mm

평행축 정리

플랜지: 300·20³/12 + 6000·(290 − 242.3)² = 1.387 × 10⁷ mm⁴

웨브: 10·280³/12 + 2800·(140 − 242.3)² = 4.758 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.387 × 10⁷ + 4.758 × 10⁷ = 6.145 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 242.3 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·242.3/6.145 × 10⁷ = 19.71 MPa

답

σ_아래 = 19.71 MPa

13.지반의 유효 응력

답: σ′ = 102.8 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γ_w·(지하수위 아래 깊이).

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 19.5·4 = 142 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

유효 응력

σ′ = σ − u = 142 − 39.24 = 102.8 kPa

답

σ′ = 102.8 kPa

14.지반의 유효 응력

답: u = 44.15 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa

답

u = 44.15 kPa

15.압밀 침하

답: S = 2.923 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′_f = σ′₀ + Δσ. 정규 압밀 점토: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′_p까지는 C_r을 따라 재압축되고, 그 이후에만 C_c를 따릅니다. 시간: t = T_v·H_dr²/c_v이며, 배수 거리 H_dr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력과 비교

σ′_f = 120 + 15 = 135 kPa ≤ 240 kPa

침하량

점토는 재압축 곡선 위에 머뭅니다.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·5/(1 + 0.75)·log₁₀(135/120) = 2.923 mm

답

S = 2.923 mm

16.압밀 침하

답: t = 2.101 년

배수 거리

H_dr = H = 4 m

시간

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·4²/1.5 = 2.101 년

답

t = 2.101 년

17.정수압

답: F = 64.38 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·3.75 = 64.38 kN

답

F = 64.38 kN

18.정수압

답: y_cp = 4.083 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·3 = 120.7 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1/(4·3) = 4.083 m

답

y_cp = 4.083 m

19.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 66.63 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

평균 유속

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²

V = Q/A = 0.003/0.001963 = 1.528 m/s

속도 수두

V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(1000/0.05)·1.528²/(2·9.81) = 66.63 m

답

h_f = 66.63 m

20.관 마찰과 손실 수두

답: Q = 239.2 L/s

손실 계수

f·L/D = 0.015·600/0.3 = 30

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

에너지 방정식

두 수면 모두 대기에 열려 있고 사실상 정지해 있으므로 Δz 전체가 관에서 손실됩니다.

22 = (30 + 7.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·22/37.7) = 3.384 m/s

유량

Q = V·π·D²/4 = 3.384·0.07069 = 0.2392 m³/s = 239.2 L/s

답

Q = 239.2 L/s

21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 14.27 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 1.5·1.6)·1.6 = 7.84 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·1.6·√(1 + 1.5²) = 8.269 m

R = A/P = 0.9481 m

속도

V = (1/0.015)·0.9481^2/3·0.0008^1/2 = 1.82 m/s

유량

Q = A·V = 7.84·1.82 = 14.27 m³/s

답

Q = 14.27 m³/s

22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.001438 m/m

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·1.2)·1.2 = 6.36 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.2·√(1 + 1.5²) = 7.827 m

R = A/P = 0.8126 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·14/(6.36·0.8708) = 0.03792

S = 0.03792² = 0.001438

답

S = 0.001438

1킬로미터당 1.438 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: P_el = 29.07 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·40 = 19.62 kW

축동력

P_shaft = 19.62/0.75 = 26.16 kW

전기 입력 동력

P_el = 26.16/0.9 = 29.07 kW

답

P_el = 29.07 kW

24.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 40.94 kW

속도

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (52.8 + 5)·0.3046 = 17.61 m

펌프 양정

H = Δz + h_L = 5 + 17.61 = 22.61 m

축동력

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·22.61/0.65 = 40.94 kW

답

P_shaft = 40.94 kW

25.화폐의 시간 가치

답: FV = 6910 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·9 = 108

미래 가치

FV = 5 000·(1 + 0.003)¹⁰⁸ = 5 000·1.382 = €6 909.88

답

FV = €6 909.88

26.화폐의 시간 가치

답: FV = 177675 €

월 이율과 적립 횟수

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·23 = 276

적립금의 미래 가치

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(3.961 − 1)/0.005 = €177 675.43

답

FV = €177 675.43

직접 넣은 돈은 €82 800이고 나머지는 이자입니다.

27.NPV와 IRR

답: NPV = −3393 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 28 000/1.12 = 25 000.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 29 000/1.254 = 23 118.62

CF₃/(1 + 0.12)³ = 33 000/1.405 = 23 488.75

더하기

NPV = €−3 392.63

답

NPV = €−3 392.63

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

28.NPV와 IRR

답: IRR = 40.85 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(40%) = 517.49

NPV(45%) = −2 384.68

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 40 + 5·517.49/(517.49 − (−2 384.68)) = 40.89%

정확한 값: NPV(40.85%) = 0 → IRR = 40.85%

답

IRR = 40.85%

29.정규분포

답: z = 2.2

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.9722)/2 = 0.9861

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.9861을 찾아 z를 읽으세요.

z = 2.20

답

z = 2.20

30.정규분포

답: P = 0.7881

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

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