FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

지반의 유효 응력

전응력: σ = Σγ_i·h_i
간극 수압: u = γ_w·(z − z_w)
유효 응력: σ′ = σ − u
물: γ_w = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
최종 응력: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
과압밀, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
과압밀비: OCR = σ′_p/σ′₀
압밀 소요 시간: t = T_v·H_dr²/c_v
배수 거리: H_dr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 4 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가, A에서 1 m 떨어진 곳에 반시계 방향 우력 M이 작용한다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 5 mP = 30 kN 위치 4 mM = 25 kN·m (반시계 방향) 위치 1 m

R_B = kN

2.보의 지점 반력어려움

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 벽에서 0이고 자유단 B에서 8 kN/m로 증가하는 선형 분포 하중과, 벽에서 4 m 떨어진 곳의 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

L = 8 mw₀ = 8 kN/mP = 65 kN 위치 4 m

M_A = kN·m

3.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 2 mB는 A에서 6 m연직 하중 = 25 kN

F_AB = kN

4.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 2 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 60 kN수평 하중 = 25 kN →

F_AB = kN

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

45 kN @ 2 m55 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 6 mP = 80 kN 위치 5 mw = 3 kN/m, 0부터 6 m까지

M_max = kN·m

7.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.보의 처짐어려움

폭 75 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/300을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 1.5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 75 mm

h_req = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

150 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 60 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 70 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mm구멍 중심: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 20 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_위 = MPa

13.지반의 유효 응력보통

그림의 지반 단면에서 점 X의 간극 수압 u을(를) 구하시오.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 16 kN/m³모래: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.지반의 유효 응력어려움

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 유효 응력 σ′을(를) 구하시오.

z = 5.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 17 kN/m³모래: γ_sat = 19.5 kN/m³점토: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.압밀 침하보통

두께 6.5 m인 과압밀 점토층의 C_c = 0.45, C_r = 0.05, e₀ = 1.15이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 45 kPa 이고, 과압밀비는 OCR = 2이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 80 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 6.5 mC_c = 0.45C_r = 0.05e₀ = 1.15σ′₀ = 45 kPaOCR = 2Δσ = 80 kPa

S = mm

16.압밀 침하어려움

실내 압밀 시험에서 위아래로 배수되는 두께 25 mm의 점토 시료가 12분 만에 압밀도 50%에 도달한다. 현장에서는 같은 점토가 두께 10 m인 층을 이룬다. 아래는 불투수성 암반, 위는 모래이므로 물이 위로만 빠져나간다. 현장의 점토층이 압밀도 50%에 도달하는 데 며칠 t이(가) 걸리는가?

h_lab = 25 mmt_lab = 12 minH = 10 m현장: 일면 배수

t = 일

17.정수압보통

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.정수압어려움

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 1.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 200 m, 안지름 50 mm인 관을 평균 유속 2.1 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.02, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

V = 2.1 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 40 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?

Q = 40 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

21.개수로 흐름(매닝)보통

직사각형 깨끗한 흙 수로의 폭은 4 m이다. 물이 수심 0.9 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.022, 수로 바닥 경사는 S = 0.001이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 4 my = 0.9 mn = 0.022S = 0.001

Q = m³/s

22.개수로 흐름(매닝)어려움

바닥 폭 2 m, 측면 경사 2:1(수평:연직)인 사다리꼴 벽돌 쌓기 수로가 수심 1.3 m의 등류로 13 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.015. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 13 m³/sb = 2 my = 1.3 mz = 2n = 0.015

S = m/m

23.펌프와 펌프 동력보통

효율 60%인 펌프가 양정 74 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 100 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 100 L/sH = 74 mη = 60%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 75 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 25 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 200 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.02이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 75 L/sΔz = 25 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8

H = m

25.화폐의 시간 가치보통

신용카드의 명목 이자율은 연 18%, 월 복리이다. 실효 연이율 EAR을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 18%m = 12

EAR = %

26.화폐의 시간 가치어려움

€300 000의 주택 담보 대출을 연 3%, 월 복리로 20년 동안 매월 같은 금액으로 상환한다. 11년 차 말의 상환 직후 남은 금액은 얼마인가? 대출 잔액 B을(를) 구하시오.

P = €300 0003% / 12N = 240k = 132

B = €

27.NPV와 IRR보통

€30 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €8 000, €13 000, €9 000, €12 000. 자본 비용은 9%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 13 000CF₃ = 9 000CF₄ = 12 000

NPV = €

28.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €10 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €4 500, €5 000, €7 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 5 000CF₃ = 7 500

IRR = %

29.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 167.5에서 188.85 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 167.5x₂ = 188.85

P =

30.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 97.5%가 그 아래에 있는 값 x(97.5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 65σ = 10P = 97.5%

x = 점

3용액

1.보의 지점 반력

답: R_B = 19 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

A에 대한 모멘트

반시계 방향을 양으로.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 30·4 + 25 = 0

R_B = 95/5 = 19 kN

연직 방향 평형

R_A = 30 − 19 = 11 kN

답

R_B = 19 kN

음의 반력은 아래로 작용합니다.

2.보의 지점 반력

답: M_A = 430.7 kN·m

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 R_A와 반력 모멘트 M_A를 줍니다. ΣF_y = 0에서 R_A가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 M_A = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

삼각형 하중의 합력

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = 2L/3 = 5.333 m

벽에 대한 모멘트

M_A = W·x̄ + P·a = 32·5.333 + 65·4 = 430.7 kN·m

답

M_A = 430.7 kN·m

3.트러스: 절점법

답: F_AB = −19.76 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·6 → C_y = 18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18.75 = 6.25 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 2/6.325 = 0.3162

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6.25/0.3162 = −19.76 kN

답

F_AB = −19.76 kN (압축)

4.트러스: 절점법

답: F_AB = −4.507 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 + 25·2 → C_y = 57.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 57.5 = 2.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2.5/0.5547 = −4.507 kN

답

F_AB = −4.507 kN (압축)

5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 55.83 kN, R₂ = 44.17 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 111.7, M_C = 133.3, M_D = 155, M_E = 176.7 kN·m, M_F = 88.33, M_G = 0

답

표시점 E: M_E = 176.7 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 74.17 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·5 + 3·6·3

R_B = 454/6 = 75.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 98 − 75.67 = 22.33 kN

V = 0인 곳은?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 7.333 kN

V(5⁺) = 7.333 − 80 = −72.67 kN

전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 22.33·5 − 3·5²/2 = 74.17 kN·m

답

M_max = 74.17 kN·m

A에서 x = 5 m인 곳에서 생깁니다.

7.보의 처짐

답: δ_max = 1.938 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 1.938 mm

답

δ_max = 1.938 mm

8.보의 처짐

답: h_req = 220 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 1.5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·5000⁴/(384·11000·16.67) = 6.658 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·6.658 × 10⁷/75)^1/3 = 220 mm

답

h_req = 220 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 24.22 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24.22 kN

답

P_cr = 24.22 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 11.99 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/12.5 = 240

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa

답

σ_cr = 11.99 MPa

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 96.55 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (30000·100 − 2827·70)/(30000 − 2827) = 103.1 mm

ȳ에 대한 전체 판

150·200³/12 + 30000·−3.122² = 100.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·60⁴/64 + 2827·−33.12² = 3.738 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 96.55 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 96.55 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 71.92 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

웨브: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·245 + 3360·120)/4360 = 148.7 mm

평행축 정리

플랜지: 100·10³/12 + 1000·(245 − 148.7)² = 9.288 × 10⁶ mm⁴

웨브: 14·240³/12 + 3360·(120 − 148.7)² = 1.889 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9.288 × 10⁶ + 1.889 × 10⁷ = 2.818 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 250 − 148.7 = 101.3 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·101.3/2.818 × 10⁷ = 71.92 MPa

답

σ_위 = 71.92 MPa

13.지반의 유효 응력

답: u = 29.43 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γ_w·(지하수위 아래 깊이).

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

답

u = 29.43 kPa

14.지반의 유효 응력

답: σ′ = 61.66 kPa

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2.5

σ = 17·2 + 19.5·1 + 17·2.5 = 96 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3.5 = 34.34 kPa

유효 응력

σ′ = σ − u = 96 − 34.34 = 61.66 kPa

답

σ′ = 61.66 kPa

15.압밀 침하

답: S = 239.6 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′_f = σ′₀ + Δσ. 정규 압밀 점토: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′_p까지는 C_r을 따라 재압축되고, 그 이후에만 C_c를 따릅니다. 시간: t = T_v·H_dr²/c_v이며, 배수 거리 H_dr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·45 = 90 kPa

선행 압밀 압력과 비교

σ′_f = 45 + 80 = 125 kPa > 90 kPa

침하량

σ′_p까지는 재압축, 그 이후는 처녀 압축.

S = 0.05·6.5/(1 + 1.15)·log₁₀(90/45) + 0.45·6.5/(1 + 1.15)·log₁₀(125/90)

S = 45.5 + 194.1 = 239.6 mm

답

S = 239.6 mm

16.압밀 침하

답: t = 5333 일

배수 거리

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 10 m

시간 환산

실내와 현장에서 T_v와 c_v가 같으므로 t = T_v·H_dr²/c_v.

t_field = 12·(10/0.0125)² = 7.68 × 10⁶ min

t_field = 7.68 × 10⁶/1440 = 5333 일

답

t = 5333 일

17.정수압

답: F = 29.43 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·1 = 29.43 kN

답

F = 29.43 kN

18.정수압

답: F = 88.29 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

답

F = 88.29 kN

19.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 17.98 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도 수두

V²/(2g) = 2.1²/(2·9.81) = 0.2248 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(200/0.05)·2.1²/(2·9.81) = 17.98 m

답

h_f = 17.98 m

20.관 마찰과 손실 수두

답: Δz = 6.711 m

속도

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

손실 계수

f·L/D = 0.018·150/0.15 = 18

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

전체 손실 수두

h_f = 18·0.2611 = 4.701 m

h_m = 7.7·0.2611 = 2.011 m

Δz = h_f + h_m = 6.711 m

답

Δz = 6.711 m

21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 3.765 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = b·y = 4·0.9 = 3.6 m²

P = b + 2y = 4 + 2·0.9 = 5.8 m

R = A/P = 0.6207 m

속도

V = (1/0.022)·0.6207^2/3·0.001^1/2 = 1.046 m/s

유량

Q = A·V = 3.6·1.046 = 3.765 m³/s

답

Q = 3.765 m³/s

22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.001519 m/m

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·1.3)·1.3 = 5.98 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1.3·√(1 + 2²) = 7.814 m

R = A/P = 0.7653 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·13/(5.98·0.8367) = 0.03897

S = 0.03897² = 0.001519

답

S = 0.001519

1킬로미터당 1.519 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 121 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·74 = 72.59 kW

축동력

P_shaft = P_h/η = 72.59/0.6 = 121 kW

답

P_shaft = 121 kW

24.펌프와 펌프 동력

답: H = 33.13 m

속도

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0.2905 = 8.134 m

펌프 양정

두 수면 모두 개방되어 있고 사실상 정지해 있으므로 압력 항과 속도 항은 없어집니다.

H = Δz + h_L = 25 + 8.134 = 33.13 m

답

H = 33.13 m

25.화폐의 시간 가치

답: EAR = 19.56 %

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

기간당 이자율

r/m = 0.18/12 = 0.015

1년간 복리 계산

EAR = (1 + 0.015)¹² − 1 = 1.196 − 1 = 19.56%

답

EAR = 19.56%

이자가 1년에 두 번 이상 복리로 붙으면 EAR은 항상 명목 이자율보다 높습니다.

26.화폐의 시간 가치

답: B = 157304 €

월 상환액

i = 0.0025, N = 240

A = 300 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁴⁰) = €1 663.79

남은 상환액의 현재 가치

아직 남은 부채는 남은 상환액으로 정확히 갚아야 합니다.

N − k = 240 − 132 = 108

B = 1664·(1 − (1 + 0.0025)⁻¹⁰⁸)/0.0025 = €157 303.79

답

B = €157 303.79

27.NPV와 IRR

답: NPV = 3732 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 8 000/1.09 = 7 339.45

CF₂/(1 + 0.09)² = 13 000/1.188 = 10 941.84

CF₃/(1 + 0.09)³ = 9 000/1.295 = 6 949.65

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 12 000/1.412 = 8 501.10

더하기

NPV = €3 732.04

답

NPV = €3 732.04

NPV가 양수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 많이 법니다.

28.NPV와 IRR

답: IRR = 28.91 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(25%) = 640.00

NPV(30%) = −166.14

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 25 + 5·640.00/(640.00 − (−166.14)) = 28.97%

정확한 값: NPV(28.91%) = 0 → IRR = 28.91%

답

IRR = 28.91%

29.정규분포

답: P = 0.8726

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (167.5 − 178)/7 = −1.5

z₂ = (188.85 − 178)/7 = 1.55

사이의 넓이

P = Φ(1.55) − Φ(−1.5) = 0.9394 − 0.06681 = 0.8726

답

P = 0.8726

30.정규분포

답: x = 84.6 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

다시 x로

x = 65 + 1.96·10 = 84.6 점

답

x = 84.6 점

이 자료는 독립적인 연습 자료입니다. ExamProblems는 이 시험을 주관하는 기관과 제휴하거나 그 기관의 승인을 받지 않았으며, 시험 이름은 내용을 설명하는 데에만 사용됩니다. FE exam 시험은 NCEES에서 주관하며, 이 기관은 ExamProblems와 제휴하지 않았고 이를 보증하지 않습니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil