FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

지반의 유효 응력

전응력: σ = Σγ_i·h_i
간극 수압: u = γ_w·(z − z_w)
유효 응력: σ′ = σ − u
물: γ_w = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
최종 응력: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
과압밀, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
과압밀비: OCR = σ′_p/σ′₀
압밀 소요 시간: t = T_v·H_dr²/c_v
배수 거리: H_dr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 4 mP₁ = 45 kN 위치 1.5 mP₂ = 20 kN 위치 2 m

R_B = kN

2.보의 지점 반력어려움

겔버보는 A에서 벽에 고정되어 있고, C(A에서 3 m)에 내부 힌지가 있으며, D(A에서 8 m)의 롤러 위에 놓여 있다. 하중은 A에서 7 m 떨어진 곳의 집중 하중 P, CD 전체의 등분포 하중 w이다. 벽의 반력 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

AC = 3 mAD = 8 mP = 70 kN 위치 7 mw = 10 kN/m, 3부터 8 m까지

M_A = kN·m

3.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 BC의 부재력 F_BC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 4 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 50 kN

F_BC = kN

4.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 2 mB는 A에서 7 m연직 하중 = 50 kN수평 하중 = 30 kN ←

F_AB = kN

5.전단력과 휨 모멘트보통

단순보의 A에서 x = 3 m인 곳에 시계 방향 우력 M₀ = 40 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 왼쪽의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mM₀ = 40 kN·m 시계 방향, 위치 3 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 15 kN 위치 1 mw = 8 kN/m, 0부터 4 m까지x = 1 m

M_x = kN·m

7.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 4 kNw = 4 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 5 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

용접 I형 단면의 상부 플랜지는 170 × 24 mm, 웨브는 높이 300 mm, 두께 12 mm, 하부 플랜지는 260 × 16 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

상부 플랜지: 170 × 24 mm웨브: 12 × 300 mm하부 플랜지: 260 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.지반의 유효 응력보통

그림의 지반 단면에서 점 X의 간극 수압 u을(를) 구하시오.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 15.5 kN/m³모래: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.지반의 유효 응력어려움

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 유효 응력 σ′을(를) 구하시오.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 16 kN/m³모래: γ_sat = 20.5 kN/m³점토: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.압밀 침하보통

두께 2 m인 과압밀 점토층의 C_c = 0.35, C_r = 0.05, e₀ = 0.75이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 110 kPa 이고, 선행 압밀 압력은 170 kPa이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 15 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 2 mC_c = 0.35C_r = 0.05e₀ = 0.75σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 15 kPa

S = mm

16.압밀 침하어려움

실내 압밀 시험에서 위아래로 배수되는 두께 19 mm의 점토 시료가 8분 만에 압밀도 50%에 도달한다. 현장에서는 같은 점토가 두께 6 m인 층을 이룬다. 아래는 불투수성 암반, 위는 모래이므로 물이 위로만 빠져나간다. 현장의 점토층이 압밀도 50%에 도달하는 데 며칠 t이(가) 걸리는가?

h_lab = 19 mmt_lab = 8 minH = 6 m현장: 일면 배수

t = 일

17.정수압보통

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.정수압어려움

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 바닷물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.관 마찰과 손실 수두보통

물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 500 m, 안지름 75 mm인 수평 관을 0.8 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.018, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.

V = 0.8 m/sL = 500 mD = 75 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 200 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 80 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

21.개수로 흐름(매닝)보통

사다리꼴 깨끗한 흙 수로의 바닥 폭은 6 m, 측면 경사는 1:1(수평:연직)이다. 물이 수심 2.5 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.022, 수로 바닥 경사는 S = 0.001이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 6 my = 2.5 mz = 1n = 0.022S = 0.001

Q = m³/s

22.개수로 흐름(매닝)어려움

폭 4.5 m인 직사각형 벽돌 쌓기 수로가 수심 1.3 m의 등류로 7.7 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.015. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 7.7 m³/sb = 4.5 my = 1.3 mn = 0.015

S = m/m

23.펌프와 펌프 동력보통

효율 82%인 펌프가 양정 60 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 60 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 60 L/sH = 60 mη = 82%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 12 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 7 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 150 m, 안지름 100 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 5(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 400 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 12 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 5p_tank = 400 kPa

H = m

25.화폐의 시간 가치보통

5년 후 €15 000이 필요합니다. 계좌 이율은 연 4.8%, 분기 복리입니다. 오늘 얼마를 예금해야 할까요? 현재 가치 PV를 구하세요.

FV = €15 0004.8% / 4n = 5

PV = €

26.화폐의 시간 가치어려움

29년 동안 매년 초에 €5 000을(를) 예금하며, 첫 예금은 오늘이다. 계좌의 이자율은 연 6%이다. 29년 차 말 계좌에는 얼마가 있는가? FV을(를) 구하시오.

A = €5 000i = 6%n = 29

FV = €

27.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €60 000이(가) 들고, 4년 동안 쓸 수 있으며, 매년 €1 000의 운영비(매년 말 지급)가 든다. 자본 비용은 8%이다. 연간 등가 비용 EAC을(를) 구하시오.

C₀ = €60 000M = €1 000n = 4r = 8%

EAC = €

28.NPV와 IRR어려움

한 프로젝트는 오늘 €200 000이(가) 든다. 현금흐름은 1년 차 말에 €36 000이고, 마지막 현금흐름인 5년 차 말까지 매년 4%씩 증가한다. 자본 비용은 8%이다. 순현재가치 NPV을(를) 구하시오.

C₀ = €200 000CF₁ = €36 000g = 4%n = 5r = 8%

NPV = €

29.정규분포보통

X는 평균 250 g, 표준편차 4 g인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 500 g, 표준편차 9 g인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 757.9 g보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757.9 g

P =

30.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 99%가 그 아래에 있는 값 x(99 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

3용액

1.보의 지점 반력

답: R_B = 26.88 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1.5 + 20·2

R_B = 107.5/4 = 26.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 26.88 = 38.13 kN

답

R_B = 26.88 kN

2.보의 지점 반력

답: M_A = 117 kN·m

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.

CD 부분

힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.

W = 10·5 = 50 kN 위치 2.5 m 에서 C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 70·4 + 50·2.5

R_D = 81 kN

V_C = 120 − 81 = 39 kN

AC 부분

힌지력 V_C는 AC에 아래로 작용합니다(CD에 대한 작용과 크기가 같고 방향이 반대).

R_A = 39 = 39 kN

M_A = 39·3 = 117 kN·m

답

M_A = 117 kN·m

3.트러스: 절점법

답: F_BC = −42.95 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·5 → C_y = 41.67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 41.67 = 8.333 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −41.67/0.9701 = −42.95 kN

답

F_BC = −42.95 kN (압축)

4.트러스: 절점법

답: F_AB = −50.05 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·7 − 30·2 → C_y = 36.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 36.25 = 13.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 2/7.28 = 0.2747

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13.75/0.2747 = −50.05 kN

답

F_AB = −50.05 kN (압축)

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = −12 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: R_B·L − M₀ = 0. 연직 평형: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/10 = 4 kN (위쪽)

R_A = −R_B = −4 kN (아래쪽)

우력 바로 왼쪽에서 자른다

왼쪽 부분에는 R_A만 포함됩니다.

M_x = R_A·a = −4·3 = −12 kN·m

답

M_x = −12 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 23.25 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, 작용점 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1 + 8·4·2

R_B = 79/4 = 19.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47 − 19.75 = 27.25 kN

x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 27.25·1 − 8·1·0.5 = 23.25 kN·m

답

M_x = 23.25 kN·m

7.보의 처짐

답: δ_max = 50.55 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 50.55 mm

답

δ_max = 50.55 mm

8.보의 처짐

답: δ_max = 1.963 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·1.7 × 10¹²) = 0.7659 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 1.197 mm

더하기

δ_max = 0.7659 + 1.197 = 1.963 mm

답

δ_max = 1.963 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 37.85 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37.85 kN

답

P_cr = 37.85 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 39.67 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 39.67 mm

답

d = 39.67 mm

확인: 세장비 KL/r는 403.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 6.442 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

웨브: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·145 + 1120·70)/4120 = 124.6 mm

평행축 정리

플랜지: 300·10³/12 + 3000·(145 − 124.6)² = 1.272 × 10⁶ mm⁴

웨브: 8·140³/12 + 1120·(70 − 124.6)² = 5.17 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.272 × 10⁶ + 5.17 × 10⁶ = 6.442 × 10⁶ mm⁴ = 6.442 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 6.442 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 238.2 × 10⁶ mm⁴

세 개의 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

상부 플랜지: A = 4080 mm², y = 328 mm

웨브: A = 3600 mm², y = 166 mm

하부 플랜지: A = 4160 mm², y = 8 mm

도심

ȳ = (4080·328 + 3600·166 + 4160·8)/11840 = 166.3 mm

평행축 정리

상부 플랜지: 170·24³/12 + 4080·161.7² = 1.069 × 10⁸ mm⁴

웨브: 12·300³/12 + 3600·0.3108² = 2.7 × 10⁷ mm⁴

하부 플랜지: 260·16³/12 + 4160·158.3² = 1.043 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1.069 × 10⁸ + 2.7 × 10⁷ + 1.043 × 10⁸

I_x = 2.382 × 10⁸ mm⁴ = 238.2 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 238.2 × 10⁶ mm⁴

13.지반의 유효 응력

답: u = 39.24 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γ_w·(지하수위 아래 깊이).

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

답

u = 39.24 kPa

14.지반의 유효 응력

답: σ′ = 78.45 kPa

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 16·2 + 20.5·3 + 17·2 = 127.5 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

유효 응력

σ′ = σ − u = 127.5 − 49.05 = 78.45 kPa

답

σ′ = 78.45 kPa

15.압밀 침하

답: S = 3.172 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′_f = σ′₀ + Δσ. 정규 압밀 점토: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′_p까지는 C_r을 따라 재압축되고, 그 이후에만 C_c를 따릅니다. 시간: t = T_v·H_dr²/c_v이며, 배수 거리 H_dr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력과 비교

σ′_f = 110 + 15 = 125 kPa ≤ 170 kPa

침하량

점토는 재압축 곡선 위에 머뭅니다.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·2/(1 + 0.75)·log₁₀(125/110) = 3.172 mm

답

S = 3.172 mm

16.압밀 침하

답: t = 2216 일

배수 거리

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 6 m

시간 환산

실내와 현장에서 T_v와 c_v가 같으므로 t = T_v·H_dr²/c_v.

t_field = 8·(6/0.0095)² = 3.191 × 10⁶ min

t_field = 3.191 × 10⁶/1440 = 2216 일

답

t = 2216 일

17.정수압

답: F = 128.8 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·7.5 = 128.8 kN

답

F = 128.8 kN

18.정수압

답: F = 331.8 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·5.5·6 = 331.8 kN

답

F = 331.8 kN

19.관 마찰과 손실 수두

답: Δp = 38.4 kPa

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

손실 수두

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(500/0.075)·0.8²/(2·9.81) = 3.914 m

압력 강하

관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·h_f가 됩니다.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·3.914 = 38400 Pa = 38.4 kPa

답

Δp = 38.4 kPa

20.관 마찰과 손실 수두

답: Δz = 8.494 m

속도

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

손실 계수

f·L/D = 0.018·200/0.2 = 18

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

전체 손실 수두

h_f = 18·0.3305 = 5.949 m

h_m = 7.7·0.3305 = 2.545 m

Δz = h_f + h_m = 8.494 m

답

Δz = 8.494 m

21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 42.23 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·2.5)·2.5 = 21.25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2.5·√(1 + 1²) = 13.07 m

R = A/P = 1.626 m

속도

V = (1/0.022)·1.626^2/3·0.001^1/2 = 1.987 m/s

유량

Q = A·V = 21.25·1.987 = 42.23 m³/s

답

Q = 42.23 m³/s

22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.0005046 m/m

단면 형상

A = b·y = 4.5·1.3 = 5.85 m²

P = b + 2y = 4.5 + 2·1.3 = 7.1 m

R = A/P = 0.8239 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·7.7/(5.85·0.8789) = 0.02246

S = 0.02246² = 0.0005046

답

S = 0.0005046

1킬로미터당 0.5046 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 43.07 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·60 = 35.32 kW

축동력

P_shaft = P_h/η = 35.32/0.82 = 43.07 kW

답

P_shaft = 43.07 kW

24.펌프와 펌프 동력

답: H = 51.05 m

속도

V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22.5 + 5)·0.119 = 3.272 m

압력 수두

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

펌프 양정

두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 40.77 + 3.272 = 51.05 m

답

H = 51.05 m

25.화폐의 시간 가치

답: PV = 11816 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·5 = 20

현재 가치

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.269 = €11 816.29

답

PV = €11 816.29

26.화폐의 시간 가치

답: FV = 390291 €

보통 연금 계수

((1 + 0.06)²⁹ − 1)/0.06 = 73.64

기초 연금

각 예금이 1년 더 오래 운용됩니다.

FV = 5 000·73.64·1.06 = €390 290.93

답

FV = €390 290.93

27.NPV와 IRR

답: EAC = 19115 €

연간 등가 비용: 모든 비용의 현재 가치를 수명 동안의 같은 연간 금액(연금)으로 나눕니다: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). 수명이 다른 기계를 비교할 수 있습니다.

연금 현가 계수

(1 − 1.08⁻⁴)/0.08 = 3.312

연간화한 구입 가격

60 000/3.312 = 18 115.25

EAC

EAC = 18 115.25 + 1 000 = €19 115.25

답

EAC = €19 115.25

28.NPV와 IRR

답: NPV = −45230 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

성장형 연금의 현재 가치

((1.04)/(1.08))⁵ = 0.828

PV = 36 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.828) = 154 769.83

NPV

NPV = 154 769.83 − 200 000 = −€45 230.17

답

NPV = −€45 230.17

NPV가 음수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 적게 법니다.

29.정규분포

답: P = 0.2119

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

표준화하기

z = (757.9 − 750)/9.849 = 0.8

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

답

P = 0.2119

30.정규분포

답: x = 593.1 h

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

다시 x로

x = 500 + 2.326·40 = 593.05 h

답

x = 593.05 h

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