FE Civil 시험 대비: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 30개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

지반의 유효 응력

전응력: σ = Σγ_i·h_i
간극 수압: u = γ_w·(z − z_w)
유효 응력: σ′ = σ − u
물: γ_w = 9.81 kN/m³

압밀 침하

정규 압밀: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
최종 응력: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
과압밀, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
과압밀비: OCR = σ′_p/σ′₀
압밀 소요 시간: t = T_v·H_dr²/c_v
배수 거리: H_dr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통

보는 A에 힌지, A에서 4 m 떨어진 B에 롤러가 있고, B에서 자유단 C까지 내밀어져 있다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 R_A을(를) 구하시오.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 45 kN 위치 0.5 mP₂ = 45 kN 위치 6 m

R_A = kN

2.보의 지점 반력어려움

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 2.5 m 떨어진 곳에 수평과 30°를 이루는 하중 P가, A에서 4.5 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력 크기 R_A을(를) 구하시오.

L = 5 mP = 80 kN 위치 2.5 m, θ = 30°Q = 10 kN 위치 4.5 m

R_A = kN

3.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 3 mB는 A에서 7 m연직 하중 = 50 kN

F_AB = kN

4.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 AB의 부재력 F_AB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 2 mB는 A에서 7 m연직 하중 = 40 kN수평 하중 = 15 kN →

F_AB = kN

5.전단력과 휨 모멘트보통

단순보의 A에서 x = 7 m인 곳에 시계 방향 우력 M₀ = 25 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 오른쪽의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mM₀ = 25 kN·m 시계 방향, 위치 7 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 35 kN 위치 3 mw = 8 kN/m, 0부터 4 m까지x = 3 m

M_x = kN·m

7.보의 처짐보통

단순보의 지점 A에서 a = 1 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δ_P을(를) 구하시오.

P = 8 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.보의 처짐어려움

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 3 mP = 35 kN 위치 1.5 m

R_B = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 150 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmM = 40 kN·m

σ_위 = MPa

13.지반의 유효 응력보통

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 유효 응력 σ′을(를) 구하시오.

z = 9 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 15.5 kN/m³모래: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.지반의 유효 응력어려움

그림의 지반 단면에서 점 X의 연직 유효 응력 σ′을(를) 구하시오.

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³모래: γ_d = 15.5 kN/m³모래: γ_sat = 19 kN/m³점토: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.압밀 침하보통

두께 3.5 m인 과압밀 점토층의 C_c = 0.2, C_r = 0.02, e₀ = 1.05이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 40 kPa 이고, 선행 압밀 압력은 110 kPa이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 25 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 3.5 mC_c = 0.2C_r = 0.02e₀ = 1.05σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 110 kPaΔσ = 25 kPa

S = mm

16.압밀 침하어려움

두께 4 m인 점토층의 압밀 계수는 c_v = 2 m²/year이다. 아래는 불투수성 암반, 위는 모래이므로 물이 위로만 빠져나간다. 평균 압밀도 80%에 대한 시간 계수는 T_v = 0.567이다. 이 층이 압밀도 80%에 도달하는 데 몇 년 t이(가) 걸리는가?

H = 4 mc_v = 2 m²/연도U = 80%T_v = 0.567일면 배수

t = 년

17.정수압보통

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.정수압어려움

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 바닷물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.관 마찰과 손실 수두보통

물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 150 m, 안지름 75 mm인 수평 관을 2.4 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.028, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.

V = 2.4 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 300 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018인 관으로 연결되어 있다. 위 저수지의 수면은 아래 저수지 수면보다 9 m 높다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 Q을(를) L/s 단위로 구하시오.

Δz = 9 mL = 150 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.개수로 흐름(매닝)보통

사다리꼴 자갈 수로의 바닥 폭은 2 m, 측면 경사는 1:1(수평:연직)이다. 물이 수심 2.2 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.025, 수로 바닥 경사는 S = 0.0005이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 2 my = 2.2 mz = 1n = 0.025S = 0.0005

Q = m³/s

22.개수로 흐름(매닝)어려움

바닥 폭 3.5 m, 측면 경사 1:1(수평:연직)인 사다리꼴 자갈 수로가 수심 2.4 m의 등류로 50 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.025. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 50 m³/sb = 3.5 my = 2.4 mz = 1n = 0.025

S = m/m

23.펌프와 펌프 동력보통

효율 82%인 펌프가 양정 72 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 50 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 50 L/sH = 72 mη = 82%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 20 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 11 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 300 m, 안지름 100 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 6(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 350 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 20 L/sΔz = 11 mL = 300 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 6p_tank = 350 kPa

H = m

25.화폐의 시간 가치보통

한 부동산은 내년에 순임대료 €12 000을(를) 벌 것으로 예상된다. 임대료는 매년 3%씩 영구히 증가할 것으로 예상된다. 요구 수익률은 연 7%이다. 이 부동산의 오늘 가치 PV을(를) 구하시오.

C₁ = €12 000g = 3%r = 7%

PV = €

26.화폐의 시간 가치어려움

€25 000의 대출을 6년 동안 매달 같은 금액으로 상환합니다. 이율은 연 7.2%, 월 복리입니다. 월 상환액 A를 구하세요.

P = €25 0007.2% / 12N = 72

A = €

27.NPV와 IRR보통

한 기계는 오늘 €60 000이(가) 들고, 5년 동안 쓸 수 있으며, 매년 €2 000의 운영비(매년 말 지급)가 든다. 자본 비용은 10%이다. 연간 등가 비용 EAC을(를) 구하시오.

C₀ = €60 000M = €2 000n = 5r = 10%

EAC = €

28.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €20 000이 들고 1년 차부터 3년 차 말까지 €14 500, €9 000, €7 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 500CF₂ = 9 000CF₃ = 7 500

IRR = %

29.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.8638이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.8638

z =

30.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 5%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

3용액

1.보의 지점 반력

답: R_A = 16.88 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

A에 대한 모멘트

반시계 방향을 양으로.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·0.5 + 45·6

R_B = 292.5/4 = 73.13 kN

연직 방향 평형

R_A = 45 + 45 − 73.13 = 16.88 kN

답

R_A = 16.88 kN

2.보의 지점 반력

답: R_A = 72.39 kN

P의 성분

P_v = 80·sin 30° = 40 kN

P_h = 80·cos 30° = 69.28 kN

반력

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2.5 + 10·4.5 → R_B = 29 kN

A_y = 40 + 10 − 29 = 21 kN

A_x = P_h = 69.28 kN

A의 합력

R_A = √(69.28² + 21²) = 72.39 kN

답

R_A = 72.39 kN

3.트러스: 절점법

답: F_AB = −15.87 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·7 → C_y = 43.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 43.75 = 6.25 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 3/7.616 = 0.3939

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6.25/0.3939 = −15.87 kN

답

F_AB = −15.87 kN (압축)

4.트러스: 절점법

답: F_AB = −4.55 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·7 + 15·2 → C_y = 38.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 38.75 = 1.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 2/7.28 = 0.2747

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −1.25/0.2747 = −4.55 kN

답

F_AB = −4.55 kN (압축)

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 7.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: R_B·L − M₀ = 0. 연직 평형: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/10 = 2.5 kN (위쪽)

R_A = −R_B = −2.5 kN (아래쪽)

우력 바로 오른쪽에서 자른다

이제 왼쪽 부분에는 R_A와 우력이 포함됩니다.

M_x = R_A·a + M₀ = −2.5·7 + 25 = 7.5 kN·m

답

M_x = 7.5 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 38.25 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, 작용점 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·3 + 8·4·2

R_B = 169/4 = 42.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 42.25 = 24.75 kN

x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 24.75·3 − 8·3·1.5 = 38.25 kN·m

답

M_x = 38.25 kN·m

7.보의 처짐

답: δ_P = 3.386 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 8000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 8000·1000²·4000²/(3·2.52 × 10¹²·5000) = 3.386 mm

답

δ_P = 3.386 mm

8.보의 처짐

답: R_B = 10.94 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 R_B만으로 자유단은 R_BL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10.94 kN

답

R_B = 10.94 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 92.12 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2000 = 2000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2000² = 92116 N = 92.12 kN

답

P_cr = 92.12 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 209.1 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 209.1 mm

답

d = 209.1 mm

확인: 세장비 KL/r는 229.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 81.85 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307.5 mm

웨브: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·307.5 + 4800·150)/7800 = 210.6 mm

평행축 정리

플랜지: 200·15³/12 + 3000·(307.5 − 210.6)² = 2.824 × 10⁷ mm⁴

웨브: 16·300³/12 + 4800·(150 − 210.6)² = 5.361 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.824 × 10⁷ + 5.361 × 10⁷ = 8.185 × 10⁷ mm⁴ = 81.85 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 81.85 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 183.3 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132.5 mm

웨브: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·132.5 + 2160·60)/5160 = 102.2 mm

평행축 정리

플랜지: 120·25³/12 + 3000·(132.5 − 102.2)² = 2.919 × 10⁶ mm⁴

웨브: 18·120³/12 + 2160·(60 − 102.2)² = 6.43 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.919 × 10⁶ + 6.43 × 10⁶ = 9.349 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 145 − 102.2 = 42.85 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·42.85/9.349 × 10⁶ = 183.3 MPa

답

σ_위 = 183.3 MPa

13.지반의 유효 응력

답: σ′ = 102.3 kPa

유효 응력 (테르자기): 흙 골격이 받는 것은 σ′ = σ − u입니다. 전응력 σ는 그 점 위에 있는 모든 것의 무게 Σγ·h이며, 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다. 지하수위 아래의 간극 수압은 정수압입니다: u = γ_w·(지하수위 아래 깊이).

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·2 + 20·7 = 171 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·7 = 68.67 kPa

유효 응력

σ′ = σ − u = 171 − 68.67 = 102.3 kPa

답

σ′ = 102.3 kPa

14.지반의 유효 응력

답: σ′ = 100.1 kPa

전응력

X 위 각 흙층의 무게를 더합니다. 지하수위 위는 건조 단위중량, 아래는 포화 단위중량을 씁니다.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 15.5·3 + 19·3 + 18.5·3 = 159 kPa

간극 수압

수압은 지하수위 아래 깊이에 따라 커집니다.

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

유효 응력

σ′ = σ − u = 159 − 58.86 = 100.1 kPa

답

σ′ = 100.1 kPa

15.압밀 침하

답: S = 7.2 mm

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′_f = σ′₀ + Δσ. 정규 압밀 점토: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′_p까지는 C_r을 따라 재압축되고, 그 이후에만 C_c를 따릅니다. 시간: t = T_v·H_dr²/c_v이며, 배수 거리 H_dr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력과 비교

σ′_f = 40 + 25 = 65 kPa ≤ 110 kPa

침하량

점토는 재압축 곡선 위에 머뭅니다.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·3.5/(1 + 1.05)·log₁₀(65/40) = 7.2 mm

답

S = 7.2 mm

16.압밀 침하

답: t = 4.536 년

배수 거리

H_dr = H = 4 m

시간

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·4²/2 = 4.536 년

답

t = 4.536 년

17.정수압

답: F = 71.74 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.25 = 71.74 kN

답

F = 71.74 kN

18.정수압

답: F = 132 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·5.25·2.5 = 132 kN

답

F = 132 kN

19.관 마찰과 손실 수두

답: Δp = 161.3 kPa

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

손실 수두

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(150/0.075)·2.4²/(2·9.81) = 16.44 m

압력 강하

관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·h_f가 됩니다.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·16.44 = 161280 Pa = 161.3 kPa

답

Δp = 161.3 kPa

20.관 마찰과 손실 수두

답: Q = 231.9 L/s

손실 계수

f·L/D = 0.018·150/0.3 = 9

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

에너지 방정식

두 수면 모두 대기에 열려 있고 사실상 정지해 있으므로 Δz 전체가 관에서 손실됩니다.

9 = (9 + 7.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·9/16.4) = 3.281 m/s

유량

Q = V·π·D²/4 = 3.281·0.07069 = 0.2319 m³/s = 231.9 L/s

답

Q = 231.9 L/s

21.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 8.933 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·2.2)·2.2 = 9.24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2.2·√(1 + 1²) = 8.223 m

R = A/P = 1.124 m

속도

V = (1/0.025)·1.124^2/3·0.0005^1/2 = 0.9668 m/s

유량

Q = A·V = 9.24·0.9668 = 8.933 m³/s

답

Q = 8.933 m³/s

22.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.00509 m/m

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1·2.4)·2.4 = 14.16 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·2.4·√(1 + 1²) = 10.29 m

R = A/P = 1.376 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·50/(14.16·1.237) = 0.07135

S = 0.07135² = 0.00509

답

S = 0.00509

1킬로미터당 5.09 m의 낙차입니다.

23.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 43.07 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·72 = 35.32 kW

축동력

P_shaft = P_h/η = 35.32/0.82 = 43.07 kW

답

P_shaft = 43.07 kW

24.펌프와 펌프 동력

답: H = 70.47 m

속도

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66 + 6)·0.3305 = 23.8 m

압력 수두

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

펌프 양정

두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 35.68 + 23.8 = 70.47 m

답

H = 70.47 m

25.화폐의 시간 가치

답: PV = 300000 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

성장형 영구 연금

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0.07 − 0.03) = 12 000/0.04 = €300 000.00

답

PV = €300 000.00

26.화폐의 시간 가치

답: A = 428.6 €

월 이율과 상환 횟수

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·6 = 72

상환액

같은 금액 A를 N번 지급하는 것의 현재 가치는 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i입니다. 이를 대출금과 같게 놓고 A를 구합니다.

(1 + i)^−N = 0.65

A = 25 000·0.006/(1 − 0.65) = €428.63

답

A = €428.63

27.NPV와 IRR

답: EAC = 17828 €

연간 등가 비용: 모든 비용의 현재 가치를 수명 동안의 같은 연간 금액(연금)으로 나눕니다: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). 수명이 다른 기계를 비교할 수 있습니다.

연금 현가 계수

(1 − 1.1⁻⁵)/0.1 = 3.791

연간화한 구입 가격

60 000/3.791 = 15 827.85

EAC

EAC = 15 827.85 + 2 000 = €17 827.85

답

EAC = €17 827.85

28.NPV와 IRR

답: IRR = 29.57 %

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(25%) = 1 200.00

NPV(30%) = −106.96

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 25 + 5·1 200.00/(1 200.00 − (−106.96)) = 29.59%

정확한 값: NPV(29.57%) = 0 → IRR = 29.57%

답

IRR = 29.57%

29.정규분포

답: z = 1.49

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.8638)/2 = 0.9319

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.9319을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.49

답

z = 1.49

30.정규분포

답: x = 434 h

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.05

표에서 구한 z

z ≈ −1.64

원래 단위로 되돌리기

x = 500 − 1.64·40 = 434 h

답

x = 434 h

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