유체역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력
p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘
F = ρg·hc·A
압력 중심
yp = yc + Ic/(ycA)
직사각형
Ic = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식
A1v1 = A2v2
베르누이 방정식
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
유량
Q = A·v
원의 넓이
A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역
Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속
V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실
hm = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값
입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하
Δp = ρ·g·hf
두 개의 개방 저수지
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력
Pshaft = Ph/ηpump
전기 입력 동력
Pel = Pshaft/ηmotor
펌프 양정
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
시스템 손실
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2연습 문제

1.정수압보통
수문d = 1.5 mH = 3 m

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 1.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
수문d = 1.5 mH = 2.5 m

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.연속 방정식과 베르누이보통
12d1​ = 200 mm, p1​ = ?d2​ = 150 mm, p2​ = 70 kPa

물이 27 L/s로 200 mm에서 150 mm로 좁아지는 수평관을 흐른다. 좁은 구간의 압력은 70 kPa이다. 손실을 무시하고 넓은 구간의 압력 p1을(를) 구하시오.

Q = 27 L/sd1 = 200 mmd2 = 150 mmp2 = 70 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.연속 방정식과 베르누이어려움
12d1​ = 200 mm, p1​ = 390 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 2 m

물이 200 mm에서 100 mm(으)로 좁아지며 2 m 올라가는 관을 따라 위로 흐른다. 단면 1의 압력은 390 kPa, 유속은 2.25 m/s이다. 손실을 무시하고 단면 2의 압력 p2을(를) 구하시오.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 390 kPav1 = 2.25 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.관 마찰과 손실 수두보통
V = 2.7 m/sD = 100 mmL = 800 mf = 0.025

물이 길이 800 m, 안지름 100 mm인 관을 평균 유속 2.7 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.025, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.

V = 2.7 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.관 마찰과 손실 수두어려움
K = 10자유 유출구H = ?L = 200 m, D = 300 mm, f = 0.0254× 엘보 (K = 0.3)

길이 200 m, 안지름 300 mm(다르시 마찰 계수 f = 0.025)인 관이 개방 저수지에서 나와 대기 중으로 자유 분류로 유출된다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 10)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 75 L/s를 얻으려면 저수지 수면이 관 출구보다 얼마나 높아야 하는가(H)?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.펌프와 펌프 동력보통
PQ = 30 L/sH = 32 m

효율 78%인 펌프가 양정 32 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 30 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 30 L/sH = 32 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.펌프와 펌프 동력어려움
PQ = 20 L/sΔz = 16 mL = 100 m, D = 100 mm, f = 0.018, ΣK = 4

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 20 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 16 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 100 m, 안지름 100 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 4(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 20 L/sΔz = 16 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 4
H = m

3용액

1.정수압

답: F = 176.6 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
수문d = 1.5 mH = 3 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

답

F = 176.6 kN
2.정수압

답: F = 202.3 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
수문d = 1.5 mH = 2.5 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·7.5 = 202.3 kN

답

F = 202.3 kN
3.연속 방정식과 베르누이

답: p1 = 70.8 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

유속

v1 = Q/A1 = 0.027/0.03142 = 0.8594 m/s
v2 = Q/A2 = 0.027/0.01767 = 1.528 m/s

베르누이 방정식

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 70 + ½·1000·(1.528² − 0.8594²)/1000 = 70 + 0.7979 = 70.8 kPa

답

p1 = 70.8 kPa
4.연속 방정식과 베르누이

답: p2 = 332.4 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(200/100)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 390 + (−37.97) − 19.62 = 332.4 kPa

답

p2 = 332.4 kPa
5.관 마찰과 손실 수두

답: hf = 74.31 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도 수두

V²/(2g) = 2.7²/(2·9.81) = 0.3716 m

다르시–바이스바흐 식

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(800/0.1)·2.7²/(2·9.81) = 74.31 m

답

hf = 74.31 m
6.관 마찰과 손실 수두

답: H = 1.685 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s
V²/(2g) = 0.05738 m

손실 계수

f·L/D = 0.025·200/0.3 = 16.67
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 = 11.7

에너지 방정식

출구 분류는 여전히 속도 수두를 가지고 있습니다. 손실은 아니지만 공급되어야 합니다.

H = (1 + 16.67 + 11.7)·0.05738 = 1.685 m

답

H = 1.685 m
7.펌프와 펌프 동력

답: Pshaft = 12.07 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·32 = 9.418 kW

축동력

Pshaft = Ph/η = 9.418/0.78 = 12.07 kW

답

Pshaft = 12.07 kW
8.펌프와 펌프 동력

답: H = 23.27 m

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

속도

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

손실 수두

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 4)·0.3305 = 7.271 m

펌프 양정

두 수면 모두 개방되어 있고 사실상 정지해 있으므로 압력 항과 속도 항은 없어집니다.

H = Δz + hL = 16 + 7.271 = 23.27 m

답

H = 23.27 m

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