정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
유체역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2연습 문제
1.정수압보통
폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 0.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.연속 방정식과 베르누이보통
물이 24 L/s로 200 mm에서 150 mm로 좁아지는 수평관을 흐른다. 좁은 구간의 압력은 240 kPa이다. 손실을 무시하고 넓은 구간의 압력 p1을(를) 구하시오.
Q = 24 L/sd1 = 200 mmd2 = 150 mmp2 = 240 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.연속 방정식과 베르누이어려움
분수 노즐이 똑바로 위를 향한다. 노즐 바로 아래 공급관의 지름은 75 mm, 계기 압력은 140 kPa이다. 노즐 출구 지름은 25 mm이며 노즐 전후의 높이 차는 무시할 수 있다. 손실과 공기 저항을 무시하고 분류가 노즐 위로 올라가는 높이 H을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.
d1 = 75 mmp1 = 140 kPa (게이지압)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.관 마찰과 손실 수두보통
물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 500 m, 안지름 100 mm인 수평 관을 1.1 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.015, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.
V = 1.1 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.관 마찰과 손실 수두어려움
두 개방 저수지가 길이 600 m, 안지름 300 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 120 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?
Q = 120 L/sL = 600 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.펌프와 펌프 동력보통
시험에서 펌프가 양정 12 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 150 L/s 송출하고, 이때 축 동력은 29.4 kW이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율 η을(를) 퍼센트로 구하시오.
Q = 150 L/sH = 12 mPshaft = 29.4 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 40 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 7 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 200 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 6(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 400 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.
Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 6ptank = 400 kPa
H = m
3용액
1.정수압
답: F = 397.3 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·9 = 397.3 kN
답
F = 397.3 kN
2.정수압
답: F = 24.72 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1·2 = 24.72 kN
답
F = 24.72 kN
3.연속 방정식과 베르누이
답: p1 = 240.6 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
유속
v1 = Q/A1 = 0.024/0.03142 = 0.7639 m/s
v2 = Q/A2 = 0.024/0.01767 = 1.358 m/s
베르누이 방정식
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 240 + ½·1000·(1.358² − 0.7639²)/1000 = 240 + 0.6304 = 240.6 kPa
답
p1 = 240.6 kPa
4.연속 방정식과 베르누이
답: H = 14.45 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
출구 유속
β = 25/75 = 0.3333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0.9877)) = 16.84 m/s
분류의 높이
분류를 따른 베르누이 식: 꼭대기에서 유속은 0이고 압력은 다시 대기압입니다.
H = v2²/(2g) = 16.84²/(2·9.81) = 14.45 m
답
H = 14.45 m
5.관 마찰과 손실 수두
답: Δp = 45.38 kPa
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
손실 수두
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(500/0.1)·1.1²/(2·9.81) = 4.625 m
압력 강하
관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·hf가 됩니다.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·4.625 = 45375 Pa = 45.38 kPa
답
Δp = 45.38 kPa
6.관 마찰과 손실 수두
답: Δz = 5.538 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
속도
V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m
손실 계수
f·L/D = 0.015·600/0.3 = 30
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7
전체 손실 수두
hf = 30·0.1469 = 4.407 m
hm = 7.7·0.1469 = 1.131 m
Δz = hf + hm = 5.538 m
답
Δz = 5.538 m
7.펌프와 펌프 동력
답: η = 60.06 %
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·12 = 17.66 kW
효율
η = Ph/Pshaft = 17.66/29.4 = 60.06%
답
η = 60.06%
8.펌프와 펌프 동력
답: H = 54.56 m
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0.2611 = 6.79 m
압력 수두
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m
펌프 양정
두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 40.77 + 6.79 = 54.56 m
답
H = 54.56 m
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