유체역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2연습 문제

1.정수압보통

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.정수압어려움

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.연속 방정식과 베르누이보통

수도관의 피토 정압관이 정체압과 정압의 차이를 20 kPa로 나타낸다. 끝부분에서의 물의 유속 v을(를) 구하시오.

p₀ − p = 20 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.연속 방정식과 베르누이어려움

수평 벤투리미터(입구 200 mm, 목 150 mm)에 물이 흐른다. 입구와 목 사이에 연결된 수은 U자관 마노미터의 액면 차는 400 mm이다. 유량 계수는 0.95이다. 유량 Q을(를) 구하시오. 물은 ρ = 1000 kg/m³, 수은은 13 600 kg/m³, g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmΔh = 400 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 200 m, 안지름 150 mm인 관을 12 L/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.022, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

Q = 12 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 2개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 10), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 60 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?

Q = 60 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

7.펌프와 펌프 동력보통

펌프가 양정 26 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 30 L/s 송출한다. 펌프 효율은 75%이고, 펌프를 구동하는 전동기의 효율은 94%이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 전동기가 소비하는 전력 P_el을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 30 L/sH = 26 mη_pump = 75%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 100 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 5 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 300 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 2.5(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 72%이다. 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 2.5η = 72%

P_shaft = kW

3용액

1.정수압

답: F = 58.86 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

답

F = 58.86 kN

2.정수압

답: y_cp = 2.533 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·3 = 64.75 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 0.25/(2.5·3) = 2.533 m

답

y_cp = 2.533 m

3.연속 방정식과 베르누이

답: v = 6.325 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

정체점까지의 베르누이 식

유동이 끝부분에서 정지하므로 운동 에너지가 추가 압력으로 나타납니다.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·20000/1000) = 6.325 m/s

답

v = 6.325 m/s

4.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 201.9 L/s

마노미터에서 구한 압력 차

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.4 = 49442 Pa

목의 유속

연속 방정식과 베르누이 식을 함께 쓰면 이상적인 목의 유속이 나옵니다.

β = 150/200 = 0.75

v₂ = √(2·49442/(1000·(1 − 0.3164))) = 12.03 m/s

실제 유량

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.01767·12.03 = 0.2019 m³/s = 201.9 L/s

답

Q = 201.9 L/s

5.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 0.6894 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

평균 유속

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.012/0.01767 = 0.6791 m/s

속도 수두

V²/(2g) = 0.6791²/(2·9.81) = 0.0235 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(200/0.15)·0.6791²/(2·9.81) = 0.6894 m

답

h_f = 0.6894 m

6.관 마찰과 손실 수두

답: Δz = 1.927 m

속도

V = Q/A = 0.06/0.04909 = 1.222 m/s

V²/(2g) = 0.07615 m

손실 계수

f·L/D = 0.022·150/0.25 = 13.2

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

전체 손실 수두

h_f = 13.2·0.07615 = 1.005 m

h_m = 12.1·0.07615 = 0.9214 m

Δz = h_f + h_m = 1.927 m

답

Δz = 1.927 m

7.펌프와 펌프 동력

답: P_el = 10.85 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·26 = 7.652 kW

축동력

P_shaft = 7.652/0.75 = 10.2 kW

전기 입력 동력

P_el = 10.2/0.94 = 10.85 kW

답

P_el = 10.85 kW

8.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 12.72 kW

속도

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 2.5)·0.2115 = 4.336 m

펌프 양정

H = Δz + h_L = 5 + 4.336 = 9.336 m

축동력

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·9.336/0.72 = 12.72 kW

답

P_shaft = 12.72 kW

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