유체역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2연습 문제

1.정수압보통

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.정수압어려움

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.연속 방정식과 베르누이보통

물이 27 L/s로 200 mm에서 150 mm로 좁아지는 수평관을 흐른다. 좁은 구간의 압력은 110 kPa이다. 손실을 무시하고 넓은 구간의 압력 p₁을(를) 구하시오.

Q = 27 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 110 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.연속 방정식과 베르누이어려움

물이 100 mm에서 25 mm(으)로 좁아지며 5 m 올라가는 관을 따라 위로 흐른다. 단면 1의 압력은 130 kPa, 유속은 0.5 m/s이다. 손실을 무시하고 단면 2의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 130 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 200 m, 안지름 200 mm인 관을 평균 유속 1.9 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.015, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

V = 1.9 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 100 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.02인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 2), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 8 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?

Q = 8 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.펌프와 펌프 동력보통

펌프가 양정 36 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 150 L/s 송출한다. 펌프 효율은 82%이고, 펌프를 구동하는 전동기의 효율은 88%이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 전동기가 소비하는 전력 P_el을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 150 L/sH = 36 mη_pump = 82%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 80 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 21 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 150 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 85%이다. 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 80 L/sΔz = 21 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

3용액

1.정수압

답: F = 206 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

답

F = 206 kN

2.정수압

답: y_cp = 1.556 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·1.5 = 19.42 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.125/(1.5·1.5) = 1.556 m

답

y_cp = 1.556 m

3.연속 방정식과 베르누이

답: p₁ = 110.8 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

유속

v₁ = Q/A₁ = 0.027/0.03142 = 0.8594 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.027/0.01767 = 1.528 m/s

베르누이 방정식

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 110 + ½·1000·(1.528² − 0.8594²)/1000 = 110 + 0.7979 = 110.8 kPa

답

p₁ = 110.8 kPa

4.연속 방정식과 베르누이

답: p₂ = 49.08 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/25)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 8²)/1000 = −31.88 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 130 + (−31.88) − 49.05 = 49.08 kPa

답

p₂ = 49.08 kPa

5.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 2.76 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도 수두

V²/(2g) = 1.9²/(2·9.81) = 0.184 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(200/0.2)·1.9²/(2·9.81) = 2.76 m

답

h_f = 2.76 m

6.관 마찰과 손실 수두

답: Δz = 1.819 m

속도

V = Q/A = 0.008/0.007854 = 1.019 m/s

V²/(2g) = 0.05288 m

손실 계수

f·L/D = 0.02·150/0.1 = 30

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

전체 손실 수두

h_f = 30·0.05288 = 1.586 m

h_m = 4.4·0.05288 = 0.2327 m

Δz = h_f + h_m = 1.819 m

답

Δz = 1.819 m

7.펌프와 펌프 동력

답: P_el = 73.41 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·36 = 52.97 kW

축동력

P_shaft = 52.97/0.82 = 64.6 kW

전기 입력 동력

P_el = 64.6/0.88 = 73.41 kW

답

P_el = 73.41 kW

8.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 27.55 kW

속도

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18.75 + 8)·0.3305 = 8.841 m

펌프 양정

H = Δz + h_L = 21 + 8.841 = 29.84 m

축동력

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·29.84/0.85 = 27.55 kW

답

P_shaft = 27.55 kW

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