유체역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2연습 문제

1.정수압보통

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.정수압어려움

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.연속 방정식과 베르누이보통

큰 열린 탱크의 물이 지름 25 mm의 예연 오리피스로 빠져나간다. 수위는 오리피스보다 3.5 m 위로 유지되고 유량 계수는 0.61이다. 유량 Q을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d = 25 mmh = 3.5 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.연속 방정식과 베르누이어려움

물이 75 mm에서 40 mm(으)로 좁아지며 5 m 올라가는 관을 따라 위로 흐른다. 단면 1의 압력은 290 kPa, 유속은 1 m/s이다. 손실을 무시하고 단면 2의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 290 kPav₁ = 1 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.관 마찰과 손실 수두보통

물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 400 m, 안지름 50 mm인 수평 관을 1.6 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.022, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.

V = 1.6 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.관 마찰과 손실 수두어려움

길이 150 m, 안지름 300 mm(다르시 마찰 계수 f = 0.018)인 관이 개방 저수지에서 나와 대기 중으로 자유 분류로 유출된다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 0.2)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 80 L/s를 얻으려면 저수지 수면이 관 출구보다 얼마나 높아야 하는가(H)?

Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2

H = m

7.펌프와 펌프 동력보통

효율 75%인 펌프가 양정 62 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 150 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 150 L/sH = 62 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 50 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 27 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 400 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 6(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 85%이다. 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 50 L/sΔz = 27 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 6η = 85%

P_shaft = kW

3용액

1.정수압

답: F = 49.66 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.25 = 49.66 kN

답

F = 49.66 kN

2.정수압

답: F = 88.29 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·2 = 88.29 kN

답

F = 88.29 kN

3.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 2.481 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

이상 분류 속도

√(2gh) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

실제 유량

유량 계수는 분류의 수축과 가장자리의 마찰을 반영합니다.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.0004909·8.287 = 0.002481 m³/s = 2.481 L/s

답

Q = 2.481 L/s

4.연속 방정식과 베르누이

답: p₂ = 235.3 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/40)² = 3.516 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 3.516²)/1000 = −5.68 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−5.68) − 49.05 = 235.3 kPa

답

p₂ = 235.3 kPa

5.관 마찰과 손실 수두

답: Δp = 225.3 kPa

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

손실 수두

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(400/0.05)·1.6²/(2·9.81) = 22.96 m

압력 강하

관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·h_f가 됩니다.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·22.96 = 225280 Pa = 225.3 kPa

답

Δp = 225.3 kPa

6.관 마찰과 손실 수두

답: H = 0.7769 m

속도

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

손실 계수

f·L/D = 0.018·150/0.3 = 9

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 = 1.9

에너지 방정식

출구 분류는 여전히 속도 수두를 가지고 있습니다. 손실은 아니지만 공급되어야 합니다.

H = (1 + 9 + 1.9)·0.06529 = 0.7769 m

답

H = 0.7769 m

7.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 121.6 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·62 = 91.23 kW

축동력

P_shaft = P_h/η = 91.23/0.75 = 121.6 kW

답

P_shaft = 121.6 kW

8.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 26.41 kW

속도

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0.408 = 18.77 m

펌프 양정

H = Δz + h_L = 27 + 18.77 = 45.77 m

축동력

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·45.77/0.85 = 26.41 kW

답

P_shaft = 26.41 kW

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