정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
유체역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2연습 문제
1.정수압보통
폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 3 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 ycp을(를) 구하시오.
d = 1.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.연속 방정식과 베르누이보통
입구 지름 100 mm, 목 지름 50 mm인 수평 벤투리미터에 물이 흐른다. 입구의 압력은 목보다 40 kPa 높다. 손실을 무시하고 유량 Q을(를) 구하시오.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 − p2 = 40 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.연속 방정식과 베르누이어려움
안지름 32 mm의 호스로 열린 탱크의 물을 사이펀으로 빼낸다. 호스의 가장 높은 점 C는 수면보다 1 m 위에 있고, (대기에 열린) 출구는 수면보다 2.5 m 아래에 있다. 손실을 무시하고 g = 9.81 m/s²로 하시오. 유량 Q을(를) 구하시오.
d = 32 mmzC = +1 mz2 = −2.5 mg = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.관 마찰과 손실 수두보통
물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 800 m, 안지름 250 mm인 수평 관을 1.8 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.022, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.
V = 1.8 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.관 마찰과 손실 수두어려움
길이 100 m, 안지름 150 mm(다르시 마찰 계수 f = 0.018)인 관이 개방 저수지에서 나와 대기 중으로 자유 분류로 유출된다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 2)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 50 L/s를 얻으려면 저수지 수면이 관 출구보다 얼마나 높아야 하는가(H)?
Q = 50 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.펌프와 펌프 동력보통
효율 78%인 펌프가 양정 74 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 50 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 50 L/sH = 74 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 25 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 11 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 150 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 400 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.
Q = 25 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 8ptank = 400 kPa
H = m
3용액
1.정수압
답: F = 51.5 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·1.5 = 51.5 kN
답
F = 51.5 kN
2.정수압
답: ycp = 3.25 m
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3·3 = 111.2 kN
압력 중심
압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 2.25/(3·3) = 3.25 m
답
ycp = 3.25 m
3.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 18.14 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
연속 방정식
v1 = v2·(50/100)² = 0.25·v2
입구와 목 사이의 베르누이 식
관이 수평이므로 압력과 유속만 변합니다.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·40000/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.238 m/s
v1 = 2.309 m/s
유량
Q = A2·v2 = 0.001963·9.238 = 0.01814 m³/s = 18.14 L/s
답
Q = 18.14 L/s
4.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 5.633 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
호스 안의 유속
수면과 출구는 모두 대기에 열려 있으므로 압력 항이 상쇄됩니다.
v = √(2g·2.5) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s
유량
Q = A·v = 0.0008042·7.004 = 0.005633 m³/s = 5.633 L/s
답
Q = 5.633 L/s
5.관 마찰과 손실 수두
답: Δp = 114 kPa
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
손실 수두
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(800/0.25)·1.8²/(2·9.81) = 11.63 m
압력 강하
관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·hf가 됩니다.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·11.63 = 114048 Pa = 114 kPa
답
Δp = 114 kPa
6.관 마찰과 손실 수두
답: H = 6.814 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
속도
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
손실 계수
f·L/D = 0.018·100/0.15 = 12
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7
에너지 방정식
출구 분류는 여전히 속도 수두를 가지고 있습니다. 손실은 아니지만 공급되어야 합니다.
H = (1 + 12 + 3.7)·0.408 = 6.814 m
답
H = 6.814 m
7.펌프와 펌프 동력
답: Pshaft = 46.53 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·74 = 36.3 kW
축동력
Pshaft = Ph/η = 36.3/0.78 = 46.53 kW
답
Pshaft = 46.53 kW
8.펌프와 펌프 동력
답: H = 54.83 m
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0.102 = 3.06 m
압력 수두
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m
펌프 양정
두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 40.77 + 3.06 = 54.83 m
답
H = 54.83 m
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