수리학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2연습 문제

1.정수압보통

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.정수압어려움

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 바닷물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.연속 방정식과 베르누이보통

물이 75 mm에서 50 mm(으)로 좁아지는 수평관을 흐른다. 넓은 부분의 압력은 120 kPa, 유속은 2.75 m/s이다. 손실을 무시하고 좁은 부분의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 120 kPav₁ = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.연속 방정식과 베르누이어려움

분수 노즐이 똑바로 위를 향한다. 노즐 바로 아래 공급관의 지름은 75 mm, 계기 압력은 50 kPa이다. 노즐 출구 지름은 30 mm이며 노즐 전후의 높이 차는 무시할 수 있다. 손실과 공기 저항을 무시하고 분류가 노즐 위로 올라가는 높이 H을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d₁ = 75 mmp₁ = 50 kPa (게이지압)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 50 m, 안지름 150 mm인 관을 평균 유속 1.5 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.018, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

V = 1.5 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 100 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 30 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?

Q = 30 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

7.펌프와 펌프 동력보통

효율 72%인 펌프가 양정 16 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 30 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 30 L/sH = 16 mη = 72%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 50 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 32 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 400 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 50 L/sΔz = 32 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 8

H = m

9.개수로 흐름(매닝)보통

안지름 900 mm인 콘크리트 우수관이 막 만수 상태로 흐른다(압력류가 아닌 개수로 흐름). 매닝 n = 0.013, 경사는 S = 0.002이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

D = 900 mmn = 0.013S = 0.002

Q = m³/s

10.개수로 흐름(매닝)어려움

바닥 폭 4 m, 측면 경사 1:1(수평:연직)인 사다리꼴 깨끗한 흙 수로가 수심 0.8 m의 등류로 5.6 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.022. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 5.6 m³/sb = 4 my = 0.8 mz = 1n = 0.022

S = m/m

3용액

1.정수압

답: F = 117.7 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·6 = 117.7 kN

답

F = 117.7 kN

2.정수압

답: y_cp = 1.556 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.5·1.5 = 22.62 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.125/(1.5·1.5) = 1.556 m

답

y_cp = 1.556 m

3.연속 방정식과 베르누이

답: p₂ = 104.6 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(75/50)² = 6.188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−15.36) = 104.6 kPa

답

p₂ = 104.6 kPa

4.연속 방정식과 베르누이

답: H = 5.231 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

출구 유속

β = 30/75 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0.9744)) = 10.13 m/s

분류의 높이

분류를 따른 베르누이 식: 꼭대기에서 유속은 0이고 압력은 다시 대기압입니다.

H = v₂²/(2g) = 10.13²/(2·9.81) = 5.231 m

답

H = 5.231 m

5.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 0.6881 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도 수두

V²/(2g) = 1.5²/(2·9.81) = 0.1147 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(50/0.15)·1.5²/(2·9.81) = 0.6881 m

답

h_f = 0.6881 m

6.관 마찰과 손실 수두

답: Δz = 2.6 m

속도

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

손실 계수

f·L/D = 0.015·100/0.15 = 10

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

전체 손실 수두

h_f = 10·0.1469 = 1.469 m

h_m = 7.7·0.1469 = 1.131 m

Δz = h_f + h_m = 2.6 m

답

Δz = 2.6 m

7.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 6.54 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·16 = 4.709 kW

축동력

P_shaft = P_h/η = 4.709/0.72 = 6.54 kW

답

P_shaft = 6.54 kW

8.펌프와 펌프 동력

답: H = 62.47 m

속도

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66.67 + 8)·0.408 = 30.47 m

펌프 양정

두 수면 모두 개방되어 있고 사실상 정지해 있으므로 압력 항과 속도 항은 없어집니다.

H = Δz + h_L = 32 + 30.47 = 62.47 m

답

H = 62.47 m

9.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 0.8096 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = 0.6362 m², R = D/4 = 0.225 m

속도

V = (1/0.013)·0.225^2/3·0.002^1/2 = 1.273 m/s

유량

Q = A·V = 0.6362·1.273 = 0.8096 m³/s

답

Q = 0.8096 m³/s

10.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.001976 m/m

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·0.8)·0.8 = 3.84 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0.8·√(1 + 1²) = 6.263 m

R = A/P = 0.6131 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·5.6/(3.84·0.7217) = 0.04445

S = 0.04445² = 0.001976

답

S = 0.001976

1킬로미터당 1.976 m의 낙차입니다.

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