정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
수리학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
개수로 흐름(매닝)
- 매닝 공식
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 유량
- Q = A·V
- 동수 반경
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 직사각형
- A = b·y, P = b + 2y
- 사다리꼴(측면 경사 z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 원형 관, 만수 또는 반수
- R = D/4
- 필요 경사
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2연습 문제
1.정수압보통
폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 바닷물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.연속 방정식과 베르누이보통
입구 지름 80 mm, 목 지름 40 mm인 수평 벤투리미터에 물이 흐른다. 입구의 압력은 목보다 24 kPa 높다. 손실을 무시하고 유량 Q을(를) 구하시오.
d1 = 80 mmd2 = 40 mmp1 − p2 = 24 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.연속 방정식과 베르누이어려움
수평 벤투리미터(입구 100 mm, 목 50 mm)에 물이 흐른다. 입구와 목 사이에 연결된 수은 U자관 마노미터의 액면 차는 330 mm이다. 유량 계수는 0.98이다. 유량 Q을(를) 구하시오. 물은 ρ = 1000 kg/m³, 수은은 13 600 kg/m³, g = 9.81 m/s²를 사용하시오.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmΔh = 330 mmCd = 0.98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.관 마찰과 손실 수두보통
물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 1000 m, 안지름 300 mm인 수평 관을 2.9 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.018, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.
V = 2.9 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.관 마찰과 손실 수두어려움
두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.02인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 0.2), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 30 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?
Q = 30 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.펌프와 펌프 동력보통
효율 85%인 펌프가 양정 18 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 15 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 15 L/sH = 18 mη = 85%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 80 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 15 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 300 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 82%이다. 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 80 L/sΔz = 15 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 8η = 82%
Pshaft = kW
9.개수로 흐름(매닝)보통
사다리꼴 벽돌 쌓기 수로의 바닥 폭은 5.5 m, 측면 경사는 1:1(수평:연직)이다. 물이 수심 2.2 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.015, 수로 바닥 경사는 S = 0.002이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.
b = 5.5 my = 2.2 mz = 1n = 0.015S = 0.002
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
안지름 375 mm인 콘크리트 하수관(매닝 n = 0.013)이 막 만수로 흐를 때 자정 유속 0.75 m/s에 도달해야 한다. 최소 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.
D = 375 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
3용액
1.정수압
답: F = 294.3 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5·6 = 294.3 kN
답
F = 294.3 kN
2.정수압
답: F = 62.22 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.75·2.25 = 62.22 kN
답
F = 62.22 kN
3.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 8.992 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
연속 방정식
v1 = v2·(40/80)² = 0.25·v2
입구와 목 사이의 베르누이 식
관이 수평이므로 압력과 유속만 변합니다.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·24000/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.155 m/s
v1 = 1.789 m/s
유량
Q = A2·v2 = 0.001257·7.155 = 0.008992 m³/s = 8.992 L/s
답
Q = 8.992 L/s
4.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 17.95 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
마노미터에서 구한 압력 차
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.33 = 40790 Pa
목의 유속
연속 방정식과 베르누이 식을 함께 쓰면 이상적인 목의 유속이 나옵니다.
β = 50/100 = 0.5
v2 = √(2·40790/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.328 m/s
실제 유량
Q = Cd·A2·v2 = 0.98·0.001963·9.328 = 0.01795 m³/s = 17.95 L/s
답
Q = 17.95 L/s
5.관 마찰과 손실 수두
답: Δp = 252.3 kPa
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
손실 수두
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(1000/0.3)·2.9²/(2·9.81) = 25.72 m
압력 강하
관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·hf가 됩니다.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·25.72 = 252300 Pa = 252.3 kPa
답
Δp = 252.3 kPa
6.관 마찰과 손실 수두
답: Δz = 3.364 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
속도
V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m
손실 계수
f·L/D = 0.02·150/0.15 = 20
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9
전체 손실 수두
hf = 20·0.1469 = 2.938 m
hm = 2.9·0.1469 = 0.426 m
Δz = hf + hm = 3.364 m
답
Δz = 3.364 m
7.펌프와 펌프 동력
답: Pshaft = 3.116 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·18 = 2.649 kW
축동력
Pshaft = Ph/η = 2.649/0.85 = 3.116 kW
답
Pshaft = 3.116 kW
8.펌프와 펌프 동력
답: Pshaft = 18.19 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (21.6 + 8)·0.1354 = 4.007 m
펌프 양정
H = Δz + hL = 15 + 4.007 = 19.01 m
축동력
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·19.01/0.82 = 18.19 kW
답
Pshaft = 18.19 kW
9.개수로 흐름(매닝)
답: Q = 64.56 m³/s
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1·2.2)·2.2 = 16.94 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·2.2·√(1 + 1²) = 11.72 m
R = A/P = 1.445 m
속도
V = (1/0.015)·1.4452/3·0.0021/2 = 3.811 m/s
유량
Q = A·V = 16.94·3.811 = 64.56 m³/s
답
Q = 64.56 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)
답: S = 0.002232 m/m
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
동수 반경
R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m
매닝 공식을 S에 대해 풀기
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.2064)² = 0.002232
답
S = 0.002232
1킬로미터당 2.232 m의 낙차입니다.
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