투자론과 가치 평가: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

화폐의 시간 가치

미래 가치: FV = PV·(1 + i)ⁿ
현재 가치: PV = FV/(1 + i)ⁿ
연간 여러 기간: i = r/m, N = m·n
연금의 현재 가치: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
연금의 미래 가치: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

방법

모든 현금흐름과 그 시점을 나타낸 시간선을 그리세요.
이자율을 기간에 맞추세요: 월 납입에는 월 이자율.
단일 금액에는 FV = PV·(1 + i)ⁿ을, 균등 납입에는 연금 공식을 쓰세요.
답의 부호와 크기 수준을 확인하세요.

채권 가격과 수익률

채권 가격: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
반기 지급: C/2, y/2, 2n기간
경상 수익률: C/P
가격과 수익률: 수익률 상승 → 가격 하락

방법

기간당 이자와 기간당 수익률을 구하세요.
가격 = 이자의 현재가치(연금) + 액면가의 현재가치.
반기 이자이면 이자의 절반, 수익률의 절반, 기간 수의 두 배를 쓰세요.
확인: 수익률이 표면 이자율보다 높으면 가격은 액면가보다 낮습니다.

CAPM과 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
기업 가치: V = E + D

NPV와 IRR

순현재가치: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
균등 현금 흐름: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
내부수익률: NPV = 0이 되는 r
의사 결정: NPV > 0 (또는 IRR > 요구 수익률)이면 채택

방법

모든 현금흐름을 연도와 함께 적으세요. 0년 차의 투자액은 음수입니다.
각 현금흐름을 할인하세요: CF_t/(1 + r)^t.
모두 더하면 NPV입니다. 양수이면 프로젝트가 r보다 많이 법니다.
IRR은 NPV를 0으로 만드는 이자율을 시행착오나 보간으로 찾으세요.

2연습 문제

1.화폐의 시간 가치보통

3년 후 €25 000이 필요합니다. 계좌 이율은 연 4.8%, 월 복리입니다. 오늘 얼마를 예금해야 할까요? 현재 가치 PV를 구하세요.

FV = €25 0004.8% / 12n = 3

PV = €

2.화폐의 시간 가치어려움

€250 000의 주택 담보 대출을 연 7.2%, 월 복리로 30년 동안 매월 같은 금액으로 상환한다. 14년 차 말의 상환 직후 남은 금액은 얼마인가? 대출 잔액 B을(를) 구하시오.

P = €250 0007.2% / 12N = 360k = 168

B = €

3.채권 가격과 수익률보통

액면가 €1 000인 채권이 연 2%의 이자를 반년마다 두 번에 나누어 지급하며 12년 후 만기입니다. 만기 수익률은 연 2.5%입니다. 채권 가격 P을(를) 구하세요.

F = €1 000표면이자율 = 2%YTM = 2.5%n = 12

P = €

4.채권 가격과 수익률어려움

채권이 만기 수익률 7%(연 복리), 매콜리 듀레이션 4.2년으로 €1 005에 거래된다. 수익률이 75bp 내릴 때의 새 가격 P을(를) 수정 듀레이션으로 추정하시오.

P₀ = €1 005y = 7%D = 4.2Δy = −75 bp

P = €

5.CAPM과 WACC보통

어떤 회사가 €3 000 000의 자기자본과 €2 000 000의 부채을(를) 가지고 있습니다. 자기자본 비용은 14%, 세전 부채 비용은 6%, 세율은 25%입니다. WACC를 구하세요.

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM과 WACC어려움

어떤 회사가 주당 €57.50인 주식 5 000 000주와 개당 €1 050에 거래되는 채권 40 000개을(를) 가지고 있습니다. 세전 부채 비용은 3.5%, 세율은 21%입니다. 주식의 베타는 0.6, 무위험 이자율은 1.5%, 시장 수익률은 6%입니다. WACC를 구하세요.

β = 0.6r_f = 1.5%r_m = 6%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

7.NPV와 IRR보통

€75 000을 투자하면 1년 차부터 4년 차 말까지 다음 현금흐름이 생깁니다: €18 000, €29 000, €35 000, €29 000. 자본 비용은 15%입니다. 순현재가치 NPV를 구하세요.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 18 000CF₂ = 29 000CF₃ = 35 000CF₄ = 29 000

NPV = €

8.NPV와 IRR어려움

어떤 프로젝트는 €20 000이 들고 1년 차부터 2년 차 말까지 €10 000, €11 500을 돌려줍니다. 내부수익률 IRR를 퍼센트로 구하세요.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 11 500

IRR = %

3용액

1.화폐의 시간 가치

답: PV = 21653 €

화폐의 시간 가치: 오늘의 돈은 이자를 벌 수 있으므로 나중의 같은 금액보다 가치가 큽니다. 기간당 이자율 i에서 금액은 FV = PV·(1 + i)ⁿ으로 늘어납니다. 같은 금액의 지급이 이어지는 것(연금)은 각 지급액을 모두 더해 평가하며, 여기서 연금 공식이 나옵니다.

이율과 기간 수

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·3 = 36

현재 가치

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.155 = €21 653.41

답

PV = €21 653.41

2.화폐의 시간 가치

답: B = 193145 €

월 상환액

i = 0.006, N = 360

A = 250 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻³⁶⁰) = €1 696.97

남은 상환액의 현재 가치

아직 남은 부채는 남은 상환액으로 정확히 갚아야 합니다.

N − k = 360 − 168 = 192

B = 1697·(1 − (1 + 0.006)⁻¹⁹²)/0.006 = €193 145.29

답

B = €193 145.29

3.채권 가격과 수익률

답: P = 948.4 €

채권 가격 결정: 채권 가격은 만기 수익률(YTM)로 할인한 현금흐름의 현재 가치입니다. 이자(쿠폰)는 연금을 이루고, 액면가는 만기에 상환됩니다. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. 수익률이 표면이자율보다 높으면 채권은 액면가보다 낮게 거래되고, 반대의 경우도 마찬가지입니다.

기간당

C = €10.00, i = 0.0125, N = 24

이자의 현재 가치

€10.00·(1 − 0.7422)/0.0125 = €206.24

액면가의 현재 가치

€1 000·0.7422 = €742.20

가격

P = €948.44

답

P = €948.44

수익률이 표면이자율보다 높으므로 채권은 할인 발행(액면가 미만)됩니다.

4.채권 가격과 수익률

답: P = 1035 €

듀레이션: 매콜리 듀레이션은 채권이 현금흐름을 지급하는 시점의 가중 평균 시간이며, 가중치는 현금흐름의 현재 가치입니다: D = Σ t·PVₜ/P. 수정 듀레이션 D/(1 + y)는 수익률의 작은 변화에 대한 가격 변화율을 추정합니다: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

수정 듀레이션

D_mod = 4.2/1.07 = 3.925

추정 가격 변화

%ΔP ≈ −3.925·(−0.0075) = 2.944%

P ≈ 1005·(1 + 0.02944) = €1 034.59

답

P = €1 034.59

듀레이션은 선형 추정입니다. 수익률 변화가 크면 볼록성 때문에 실제 가격이 조금 더 높습니다.

5.CAPM과 WACC

답: WACC = 10.2 %

자본 비용: CAPM은 주주가 요구하는 수익률을 줍니다: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). 가중평균자본비용은 자기자본과 부채를 시장가치로 가중합니다: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), V = E + D. 이자 비용은 세금 공제가 되므로 (1 − T)가 붙습니다.

가중치

V = €5 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4

WACC

WACC = 0.6·14% + 0.4·6%·(1 − 0.25) = 10.2%

답

WACC = 10.2%

6.CAPM과 WACC

답: WACC = 4.017 %

시장가치

E = 5 000 000·€57.50 = €287 500 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

자기자본 비용 (CAPM)

r_e = 1.5% + 0.6·4.5% = 4.2%

가중치

V = €329 500 000, E/V = 0.8725, D/V = 0.1275

WACC

WACC = 0.8725·4.2% + 0.1275·3.5%·(1 − 0.21) = 4.017%

답

WACC = 4.017%

7.NPV와 IRR

답: NPV = 2174 €

순현재가치: 모든 현금흐름을 요구 수익률 r로 오늘까지 할인한 뒤 더합니다: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NPV > 0인 프로젝트는 r보다 많이 벌어 가치를 더합니다. 내부수익률(IRR)은 NPV = 0이 되는 이율입니다.

각 현금흐름의 현재 가치

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 18 000/1.15 = 15 652.17

CF₂/(1 + 0.15)² = 29 000/1.322 = 21 928.17

CF₃/(1 + 0.15)³ = 35 000/1.521 = 23 013.07

CF₄/(1 + 0.15)⁴ = 29 000/1.749 = 16 580.84

더하기

NPV = €2 174.25

답

NPV = €2 174.25

NPV가 양수이므로 이 프로젝트는 요구 수익률보다 많이 법니다.

8.NPV와 IRR

답: IRR = 4.844 %

IRR 범위 잡기

이율이 오르면 NPV가 내려가므로 IRR은 NPV가 양수인 이율과 음수인 이율 사이에 있습니다.

NPV(0%) = 1 500.00

NPV(5%) = −45.35

범위 좁히기

선형 보간으로 첫 추정치를 얻고, 이를 반복하면(또는 계산기의 IRR 기능을 쓰면) 정확한 이율을 얻습니다.

IRR ≈ 0 + 5·1 500.00/(1 500.00 − (−45.35)) = 4.853%

정확한 값: NPV(4.844%) = 0 → IRR = 4.844%

답

IRR = 4.844%

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