기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
960 rpm으로 도는 7.5 kW 모터가 잇수 18개, 모듈 2.5 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 Ft을(를) 구하시오.
P = 7.5 kWn = 960 rpmN1 = 18m = 2.5 mm
Ft = N
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 25개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 48개)를 구동한다. 기어 C(잇수 12개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 360 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 ND은(는) 몇 개여야 하는가?
nin = 1440 rpmA = 25B = 48C = 12nout = 360 rpm
ND =
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 200 N·md = 20 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
지름 30 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.2 m, B에서 2 m 떨어진 C에 토크 2000 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 30 mmT0 = 2000 N·ma = 1.2 mb = 2 m
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = −40 MPaσy = 40 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = 50 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 275 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = −20 MPaσy = −30 MPaτxy = 50 MPaσY = 275 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 40 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 40 kN구간 1: Ø30 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 70 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 70 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
강성 100 kN/m인 스프링에 달린 15 kg 질량에 감쇠비 0.5을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 15 kgk = 100 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 30 kN/m, k₂ = 100 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: Ft = 3316 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
피니언의 토크
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 7500/100.5 = 74.6 N·m
피치원 지름
d = m·N = 2.5·18 = 45 mm
접선력
Ft = 2T/d = 2·74.6/0.045 = 3316 N
답
Ft = 3316 N
2.기어와 기어열
답: ND = 25
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
중간축 속도
nB = nC = 1440·25/48 = 750 rpm
기어 D의 잇수
ND = C·nC/nout = 12·750/360 = 25
답
ND = 25
3.축의 비틀림
답: φ = 7.295 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(80000·15708) = 0.1273 rad
φ = 0.1273·180/π = 7.295°
답
φ = 7.295°
4.축의 비틀림
답: τmax = 235.8 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.
평형과 적합 조건
TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·2/3.2 = 1250 N·m
TB = 2000·1.2/3.2 = 750 N·m
최대 전단 응력
두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).
τmax = 16·1.25 × 10⁶/(π·30³) = 235.8 MPa
답
τmax = 235.8 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 72.11 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((−40 − 40)/2)² + −60²) = 72.11 MPa
답
τmax = 72.11 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: n = 2.736
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = −25 MPa, R = 50.25 MPa
σ1 = 25.25 MPa, σ2 = −75.25 MPa, σ3 = 0
트레스카
σmax − σmin = 100.5 MPa
n = 275/100.5 = 2.736
답
n = 2.736
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
7.축 응력과 변형률
답: δ = 1.617 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 40·1000/706.9 = 56.59 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 56.59/70000 = 0.0008084 = 808.4 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.0008084·2000 mm = 1.617 mm
답
δ = 1.617 mm
8.축 응력과 변형률
답: δ = 3.317 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 56.59 MPa
σ2 = 198.9 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 56.59·2000/70000 = 1.617 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 198.9·1000/117000 = 1.7 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.317 mm
답
δ = 3.317 mm
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 3.373 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·2000 = 4000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/4000² = 3373 N = 3.373 kN
답
Pcr = 3.373 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 36.66 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·70000 = 175000 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 36.66 mm
답
d = 36.66 mm
확인: 세장비 KL/r는 109.1이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: fd = 11.25 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(100000/15) = 81.65 rad/s
fn = 81.65/(2π) = 12.99 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 12.99·√(1 − 0.5²) = 11.25 Hz
답
fd = 11.25 Hz
12.기계 진동
답: fn = 11.48 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 30 + 100 = 130 kN/m
고유 진동수
ωn = √(130000/25) = 72.11 rad/s
fn = 72.11/(2π) = 11.48 Hz
답
fn = 11.48 Hz
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