기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1500 rpm으로 도는 2.2 kW 모터가 잇수 45개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 50개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 96%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 2.2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 45N₂ = 50η = 96%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 80 mm 풀리와 250 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 600 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 80 mmd₂ = 250 mmC = 600 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 40 mm, 길이 0.8 m이고, 구간 BC는 지름 20 mm, 길이 0.8 m이다. 자유단 C에 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

T = 250 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 20 mm, L₂ = 0.8 m

τ_max = MPa

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.5 m 떨어진 B에 토크 200 N·m이(가), 거기서 1 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 400 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 50 mmT_B = 200 N·mT_C = 400 N·mAB = 1.5 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 110 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 200 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa, 허용응력 70 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

150 kg 질량이 강성 150 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 470 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 150 kgk = 150 kN/mc = 470 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 5 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 30 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 14.94 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157.1 = 14.01 N·m

출력 토크

T₂ = 14.01·50/45·0.96 = 14.94 N·m

답

T₂ = 14.94 N·m

2.기어와 기어열

답: θ = 163.7 °

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 각도

asin(0.1417) = 8.144°

접촉각

θ = 180 − 2·8.144 = 163.7°

답

θ = 163.7°

3.축의 비틀림

답: τ_max = 159.2 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

각 구간의 응력

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·40³) = 19.89 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·20³) = 159.2 MPa

답

τ_max = 159.2 MPa

4.축의 비틀림

답: τ_max = 24.45 MPa

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 200 = 600 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|_max = 600 N·m

τ_max = 16·600000/(π·50³) = 24.45 MPa

답

τ_max = 24.45 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = −19.33 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·−40, 40 − −60) = −38.66°

요소에서의 각도

θ_p = −19.33°

답

θ_p = −19.33°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 139.5 MPa

변환 식

σ_θ = 65 + 45·0.5 + −60·−0.866 = 139.5 MPa

답

σ_θ = 139.5 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 30.16 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/9.947 × 10⁻⁶ = 30159 N = 30.16 kN

답

P = 30.16 kN

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 711.5 kN

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·9346 = 1.22 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.001, 0.0005833) = 0.0005833 (구리)

최대 하중

P_max = 0.0005833·1.22 × 10⁹ = 711505 N = 711.5 kN

답

P_max = 711.5 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 635 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN

답

P_cr = 635 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 4.318 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/7.5 = 400

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

답

σ_cr = 4.318 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.04954

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·150) = 9487 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 470/9487 = 0.04954

답

ζ = 0.04954

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: k_eq = 4.286 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/30 → k_eq = 5·30/(5 + 30) = 4.286 kN/m

답

k_eq = 4.286 kN/m

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