기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
2900 rpm으로 도는 2.2 kW 모터가 잇수 18개, 모듈 4 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 Ft을(를) 구하시오.
P = 2.2 kWn = 2900 rpmN1 = 18m = 4 mm
Ft = N
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 12개)가 1500 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 36개)를 구동한다. 기어 C(잇수 12개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 120 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 ND은(는) 몇 개여야 하는가?
nin = 1500 rpmA = 12B = 36C = 12nout = 120 rpm
ND =
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 100 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 200 mm의 양 끝이 서로 8.87° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 100 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 8.87°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
지름 60 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 400 N·m이(가), 거기서 1 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 1500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
d = 60 mmTB = 400 N·mTC = 1500 N·mAB = 0.8 mBC = 1 mG = 39 GPa
φC = °
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.
σx = 150 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
지름 20 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 30 kN와(과) 토크 100 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 20 mmF = −30 kNT = 100 N·m
σ1 = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 150 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 35 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 25 mm 다음 5주기 뒤에 최댓값 3.8 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 25 mmx5 = 3.8 mmn = 5
ζ =
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 스프링 k₃ = 15 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 50 kN/m, k₂ = 20 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 50 kN/mk2 = 20 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: Ft = 201.2 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
피니언의 토크
ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 2200/303.7 = 7.244 N·m
피치원 지름
d = m·N = 4·18 = 72 mm
접선력
Ft = 2T/d = 2·7.244/0.072 = 201.2 N
답
Ft = 201.2 N
2.기어와 기어열
답: ND = 50
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
중간축 속도
nB = nC = 1500·12/36 = 500 rpm
기어 D의 잇수
ND = C·nC/nout = 12·500/120 = 50
답
ND = 50
3.축의 비틀림
답: G = 25.99 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 8.87·π/180 = 0.1548 rad
전단 탄성 계수
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·200/(4970·0.1548) = 25993 MPa
G = 25.99 GPa
답
G = 25.99 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: φC = 2.748 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
내부 토크
TC의 방향을 양으로 잡습니다.
TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC − TB = 1500 − 400 = 1100 N·m
각 구간의 비틀림각
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 1.1 × 10⁶·800/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.01773 rad
φBC = 1.5 × 10⁶·1000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.03023 rad
끝 C의 비틀림각
φC = 0.01773 + 0.03023 = 0.04796 rad → |φC| = 2.748°
답
φC = 2.748°
5.모어 원과 응력 변환
답: θs = −31.72 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.
cos 2θs = 30/67.08 = 0.4472, sin 2θs = −60/67.08 = −0.8944
2θs = atan2(−60, 30) = −63.43°
요소에서의 각도
θs = −31.72°
검산: θs − θp = −31.72 − 13.28 = −45°
답
θs = −31.72°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 31.83 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = −30000/(π·20²/4) = −30000/314.2 = −95.49 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·20³) = 63.66 MPa
모어 원
C = σ/2 = −47.75 MPa
R = √((−47.75)² + 63.66²) = 79.58 MPa
σ1 = C + R = 31.83 MPa
σ2 = C − R = −127.3 MPa
답
σ1 = 31.83 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 0.03799 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·9346 = 1.184 × 10⁹ N
줄어든 길이
δ = 150000·300/1.184 × 10⁹ = 0.03799 mm
답
δ = 0.03799 mm
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 309.5 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 71.3 MPa
σ2 = 309.5 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 309.5 MPa
답
σmax = 309.5 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 42.11 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·5000 = 5000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/5000² = 42110 N = 42.11 kN
답
Pcr = 42.11 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 47.98 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/12.5 = 120
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47.98 MPa
답
σcr = 47.98 MPa
11.기계 진동
답: ζ = 0.05986
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/5)·ln(25/3.8) = 0.3768
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3768/√(39.48 + 0.142) = 0.05986
답
ζ = 0.05986
12.기계 진동
답: fn = 3.538 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 50 + 20 = 70 kN/m
keq = 70·15/(70 + 15) = 12.35 kN/m
고유 진동수
ωn = √(12353/25) = 22.23 rad/s
fn = 22.23/(2π) = 3.538 Hz
답
fn = 3.538 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design