기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

2900 rpm으로 도는 1.5 kW 모터가 잇수 24개, 모듈 3 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 F_t을(를) 구하시오.

P = 1.5 kWn = 2900 rpmN₁ = 24m = 3 mm

F_t = N

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 15개, 각 유성 기어의 잇수는 24개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1800 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 15N_p = 24n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

황동 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 38 mm, 길이 0.8 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 0.8 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 60 mm인 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 2.5 m 떨어진 B에 토크 400 N·m이(가), 거기서 0.8 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 100 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 60 mmT_B = 400 N·mT_C = 100 N·mAB = 2.5 mBC = 0.8 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = 0 MPa이다. 최대 주응력이 35 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 20 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 35 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −20 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = −20 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −20 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 400 mm이며 강체 판 사이에서 50 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 120 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

12 kg 질량이 강성 12 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 300 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 12 kgk = 12 kN/mc = 300 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

10 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 5 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 10 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: F_t = 137.2 N

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T = P/ω = 1500/303.7 = 4.939 N·m

피치원 지름

d = m·N = 3·24 = 72 mm

접선력

F_t = 2T/d = 2·4.939/0.072 = 137.2 N

답

F_t = 137.2 N

2.기어와 기어열

답: n_c = 346.2 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·24 = 63

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −63/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·15/78 = 346.2 rpm

답

n_c = 346.2 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: φ = 2.156 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

비틀림각

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0.8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·800/(39000·408885) = 0.03763 rad

φ = 0.03763·180/π = 2.156°

답

φ = 2.156°

4.축의 비틀림

답: φ_C = 1.16 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 400 = −300 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −300000·2500/(26000·1.272 × 10⁶) = −0.02267 rad

φ_BC = 100000·800/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.002418 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = −0.02267 + 0.002418 = −0.02025 rad → |φ_C| = 1.16°

답

φ_C = 1.16°

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 22.91 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (20 + 0)/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 35 − 10 = 25 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 10²) = 22.91 MPa

답

τ_xy = 22.91 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 116.6 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 40 MPa, R = 63.25 MPa

σ₁ = 103.2 MPa, σ₂ = −23.25 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(103.2² − 103.2·(−23.25) + (−23.25)²) = 116.6 MPa

답

σ_vM = 116.6 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.05827 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·4006 = 3.432 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 50000·400/3.432 × 10⁸ = 0.05827 mm

답

δ = 0.05827 mm

8.축 응력과 변형률

답: δ = 12.89 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 244.5 MPa

σ₂ = 596.8 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 244.5·1500/70000 = 5.238 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 596.8·1500/117000 = 7.652 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 12.89 mm

답

δ = 12.89 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 32.9 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·2000 = 4000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/4000² = 32899 N = 32.9 kN

답

P_cr = 32.9 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 35.25 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

답

σ_cr = 35.25 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.3953

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·12) = 758.9 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 300/758.9 = 0.3953

답

ζ = 0.3953

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: k_eq = 3.333 kN/m

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/10 → k_eq = 5·10/(5 + 10) = 3.333 kN/m

답

k_eq = 3.333 kN/m

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