기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 100 mmd2​ = 500 mm2880 rpmT1​ = 800 NT2​ = 160 NP = ?

벨트가 100 mm 구동 풀리 위를 2880 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 800 N, 이완측 160 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d1 = 100 mmn1 = 2880 rpmT1 = 800 NT2 = 160 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
A = 36B = 45C = 20D = 60

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 36개)가 960 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 45개)를 구동한다. 기어 C(잇수 20개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.

nin = 960 rpmA = 36B = 45C = 20D = 60
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
d = 15 mmT = 30 N·m250 mmφ = 1.08°

비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 30 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 1.08° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 30 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 1.08°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
d = 25 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 3 mb = 0.8 m

지름 25 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 3 m, B에서 0.8 m 떨어진 C에 토크 2000 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.

d = 25 mmT0 = 2000 N·ma = 3 mb = 0.8 m
TA = N·m
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 100σy​ = 30τxy​ = 40MPa

한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 60° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.

σx = 100 MPaσy = 30 MPaτxy = 40 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −10σy​ = 10τxy​ = 30MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 300 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = −10 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaσY = 300 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
P = ?12600 mm400 mmØ30Ø50δ = 0.2 mm

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.2 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 40 mm강철1 mØ 16 mm강철1.5 mP = 65 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 65 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1.5 m30 × 40 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 85 kNL = 6 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 85 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 85 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
k = 20 kN/mζ = 0.7m = 80 kg

강성 20 kN/m인 스프링에 달린 80 kg 질량에 감쇠비 0.7을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 80 kgk = 20 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.기계 진동어려움
k1​ = 60k2​ = 50k3​ = 100m = 20 kg

20 kg 질량이 스프링 k₃ = 100 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 60 kN/m, k₂ = 50 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 9.651 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 15.08 m/s

전력

P = (800 − 160)·15.08 = 9651 W = 9.651 kW

답

P = 9.651 kW
2.기어와 기어열

답: nout = 256 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

nB = 960·36/45 = 768 rpm = nC

2단

nout = 768·20/60 = 256 rpm

답

nout = 256 rpm

전체 기어비 = 3.75 : 1

3.축의 비틀림

답: G = 80.06 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 1.08·π/180 = 0.01885 rad

전단 탄성 계수

T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·250/(4970·0.01885) = 80056 MPa
G = 80.06 GPa

답

G = 80.06 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: TA = 421.1 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·0.8/3.8 = 421.1 N·m
TB = 2000·3/3.8 = 1579 N·m

답

TA = 421.1 N·m
5.모어 원과 응력 변환

답: σy′ = 47.86 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σy′ = 65 − 35·(−0.5) − 40·0.866 = 47.86 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σx′ = 82.14 MPa, σx′ + σy′ = 130 = σx + σy

답

σy′ = 47.86 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: n = 5.477

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 0 MPa, R = 31.62 MPa
σ1 = 31.62 MPa, σ2 = −31.62 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(31.62² − 31.62·(−31.62) + (−31.62)²) = 54.77 MPa
n = 300/54.77 = 5.477

답

n = 5.477

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: P = 27.95 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1963) = 2.91 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.2/7.154 × 10⁻⁶ = 27955 N = 27.95 kN

답

P = 27.95 kN
8.축 응력과 변형률

답: δ = 2.683 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 51.73 MPa
σ2 = 323.3 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 51.73·1000/200000 = 0.2586 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 323.3·1500/200000 = 2.425 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.683 mm

답

δ = 2.683 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 6.909 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·1500 = 3000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/3000² = 6909 N = 6.909 kN

답

Pcr = 6.909 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 90.7 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·85000 = 255000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 90.7 mm

답

d = 90.7 mm

확인: 세장비 KL/r는 132.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: fd = 1.797 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ωn = √(20000/80) = 15.81 rad/s
fn = 15.81/(2π) = 2.516 Hz

감쇠 고유 진동수

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.516·√(1 − 0.7²) = 1.797 Hz

답

fd = 1.797 Hz
12.기계 진동

답: fn = 8.145 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 60 + 50 = 110 kN/m
keq = 110·100/(110 + 100) = 52.38 kN/m

고유 진동수

ωn = √(52381/20) = 51.18 rad/s
fn = 51.18/(2π) = 8.145 Hz

답

fn = 8.145 Hz

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