기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 15개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 40개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 97%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 1.1 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 15N₂ = 40η = 97%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 160 mm 풀리와 300 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 600 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 160 mmd₂ = 300 mmC = 600 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 알루미늄 축이 1500 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 20 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = −50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 200 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 300 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 100 kN/m인 스프링에 달린 250 kg 질량에 감쇠비 0.45을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 250 kgk = 100 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 스프링 k₃ = 100 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 30 kN/m, k₂ = 100 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 10.94 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/100.5 = 10.94 N·m

답

T₁ = 10.94 N·m

2.기어와 기어열

답: θ = 166.6 °

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 각도

asin(0.1167) = 6.7°

접촉각

θ = 180 − 2·6.7 = 166.6°

답

θ = 166.6°

3.축의 비틀림

답: φ = 4.323 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·79522) = 0.07545 rad

φ = 0.07545·180/π = 4.323°

답

φ = 4.323°

4.축의 비틀림

답: d = 34.57 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m

강도 기준 지름

T = 63.66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·60)) = 17.55 mm

강성 기준 지름

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 34.57 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(17.55, 34.57) = 34.57 mm

답

d = 34.57 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 22.36 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((20 − 60)/2)² + −10²) = 22.36 MPa

답

τ_max = 22.36 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 128.8 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 5 MPa, R = 74.33 MPa

σ₁ = 79.33 MPa, σ₂ = −69.33 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(79.33² − 79.33·(−69.33) + (−69.33)²) = 128.8 MPa

답

σ_vM = 128.8 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 71.77 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·2827) = 6.431 × 10⁻⁷ mm/N

하중

P = 0.3/4.18 × 10⁻⁶ = 71773 N = 71.77 kN

답

P = 71.77 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 19.1 MPa

강성

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1.131 × 10⁶ N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 60000·1.131 × 10⁶/1.257 × 10⁶ = 54000 N

응력

σ₂ = 54000/2827 = 19.1 MPa (압축)

답

σ₂ = 19.1 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 731.1 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1500² = 731082 N = 731.1 kN

답

P_cr = 731.1 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 100.7 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

답

σ_cr = 100.7 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 2.843 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(100000/250) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3.183 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.183·√(1 − 0.45²) = 2.843 Hz

답

f_d = 2.843 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 8.461 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 30 + 100 = 130 kN/m

k_eq = 130·100/(130 + 100) = 56.52 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(56522/20) = 53.16 rad/s

f_n = 53.16/(2π) = 8.461 Hz

답

f_n = 8.461 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design